\left\{ \begin{array} { l } { x ( 1 - 2 x ) - y ( 1 - y ) = ( y - \sqrt { 2 } x ) ( y + \sqrt { 2 } x ) + 3 } \\ { 2 x - ( 2 y - \frac { 1 } { 4 } ) ^ { 2 } + 16 \frac { 1 } { 16 } = ( 2 y + 3 ) ( 3 - 2 y ) } \end{array} \right.
x, y को लागि हल गर्नुहोस्
x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333
y = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333
ग्राफ
साझेदारी गर्नुहोस्
क्लिपबोर्डमा प्रतिलिपि गरियो
x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3
पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। x लाई 1-2x ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।
x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3
y लाई 1-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।
x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3
y-y^{2} को विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउन, हरेक शब्दको विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउनुहोस्।
x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3
मानौं \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)। गुणनलाई नियम प्रयोग गरेर वर्गहरूको फरकमा ढाल्न सकिन्छ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}।
x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3
\left(\sqrt{2}x\right)^{2} लाई विस्तार गर्नुहोस्।
x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3
\sqrt{2} को वर्ग संख्या 2 हो।
x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3
दुवै छेउबाट y^{2} घटाउनुहोस्।
x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3
0 प्राप्त गर्नको लागि y^{2} र -y^{2} लाई संयोजन गर्नुहोस्।
x-2x^{2}-y+2x^{2}=3
दुबै छेउहरूमा 2x^{2} थप्नुहोस्।
x-y=3
0 प्राप्त गर्नको लागि -2x^{2} र 2x^{2} लाई संयोजन गर्नुहोस्।
16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)
दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबैतिर 16 ले गुणन गर्नुहोस्।
16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)
\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2} लाई विस्तृत गर्न बाइनोमियल थ्योरम \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} प्रयोग गर्नुहोस्।
16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)
4y^{2}-y+\frac{1}{16} को विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउन, हरेक शब्दको विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउनुहोस्।
32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)
16 लाई 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16} ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।
32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)
256 प्राप्त गर्नको लागि 16 र 16 गुणा गर्नुहोस्।
32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)
255 प्राप्त गर्नको लागि -1 र 256 जोड्नुहोस्।
32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)
256 प्राप्त गर्नको लागि 255 र 1 जोड्नुहोस्।
32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)
16 लाई 2y+3 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।
32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144
32y+48 लाई 3-2y ले गुणन गरेर पदहरू जस्तै गरी संयोजन गर्न वितरणमूलक गुण प्रयोग गर्नुहोस्।
32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144
दुबै छेउहरूमा 64y^{2} थप्नुहोस्।
32x+16y+256=144
0 प्राप्त गर्नको लागि -64y^{2} र 64y^{2} लाई संयोजन गर्नुहोस्।
32x+16y=144-256
दुवै छेउबाट 256 घटाउनुहोस्।
32x+16y=-112
-112 प्राप्त गर्नको लागि 256 बाट 144 घटाउनुहोस्।
x-y=3,32x+16y=-112
प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।
x-y=3
समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।
x=y+3
समीकरणको दुबैतिर y जोड्नुहोस्।
32\left(y+3\right)+16y=-112
y+3 लाई x ले अर्को समीकरण 32x+16y=-112 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।
32y+96+16y=-112
32 लाई y+3 पटक गुणन गर्नुहोस्।
48y+96=-112
16y मा 32y जोड्नुहोस्
48y=-208
समीकरणको दुबैतिरबाट 96 घटाउनुहोस्।
y=-\frac{13}{3}
दुबैतिर 48 ले भाग गर्नुहोस्।
x=-\frac{13}{3}+3
x=y+3 मा y लाई -\frac{13}{3} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।
x=-\frac{4}{3}
-\frac{13}{3} मा 3 जोड्नुहोस्
x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}
अब प्रणाली समाधान भएको छ।
x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3
पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। x लाई 1-2x ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।
x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3
y लाई 1-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।
x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3
y-y^{2} को विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउन, हरेक शब्दको विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउनुहोस्।
x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3
मानौं \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)। गुणनलाई नियम प्रयोग गरेर वर्गहरूको फरकमा ढाल्न सकिन्छ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}।
x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3
\left(\sqrt{2}x\right)^{2} लाई विस्तार गर्नुहोस्।
x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3
\sqrt{2} को वर्ग संख्या 2 हो।
x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3
दुवै छेउबाट y^{2} घटाउनुहोस्।
x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3
0 प्राप्त गर्नको लागि y^{2} र -y^{2} लाई संयोजन गर्नुहोस्।
x-2x^{2}-y+2x^{2}=3
दुबै छेउहरूमा 2x^{2} थप्नुहोस्।
x-y=3
0 प्राप्त गर्नको लागि -2x^{2} र 2x^{2} लाई संयोजन गर्नुहोस्।
16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)
दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबैतिर 16 ले गुणन गर्नुहोस्।
16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)
\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2} लाई विस्तृत गर्न बाइनोमियल थ्योरम \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} प्रयोग गर्नुहोस्।
16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)
4y^{2}-y+\frac{1}{16} को विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउन, हरेक शब्दको विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउनुहोस्।
32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)
16 लाई 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16} ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।
32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)
256 प्राप्त गर्नको लागि 16 र 16 गुणा गर्नुहोस्।
32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)
255 प्राप्त गर्नको लागि -1 र 256 जोड्नुहोस्।
32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)
256 प्राप्त गर्नको लागि 255 र 1 जोड्नुहोस्।
32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)
16 लाई 2y+3 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।
32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144
32y+48 लाई 3-2y ले गुणन गरेर पदहरू जस्तै गरी संयोजन गर्न वितरणमूलक गुण प्रयोग गर्नुहोस्।
32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144
दुबै छेउहरूमा 64y^{2} थप्नुहोस्।
32x+16y+256=144
0 प्राप्त गर्नको लागि -64y^{2} र 64y^{2} लाई संयोजन गर्नुहोस्।
32x+16y=144-256
दुवै छेउबाट 256 घटाउनुहोस्।
32x+16y=-112
-112 प्राप्त गर्नको लागि 256 बाट 144 घटाउनुहोस्।
x-y=3,32x+16y=-112
समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)
समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।
inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)
समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)
म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)
बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{16-\left(-32\right)}&-\frac{-1}{16-\left(-32\right)}\\-\frac{32}{16-\left(-32\right)}&\frac{1}{16-\left(-32\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)
2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{48}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)
हिसाब गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{48}\left(-112\right)\\-\frac{2}{3}\times 3+\frac{1}{48}\left(-112\right)\end{matrix}\right)
मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}\\-\frac{13}{3}\end{matrix}\right)
हिसाब गर्नुहोस्।
x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}
मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।
x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3
पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। x लाई 1-2x ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।
x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3
y लाई 1-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।
x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3
y-y^{2} को विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउन, हरेक शब्दको विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउनुहोस्।
x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3
मानौं \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)। गुणनलाई नियम प्रयोग गरेर वर्गहरूको फरकमा ढाल्न सकिन्छ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}।
x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3
\left(\sqrt{2}x\right)^{2} लाई विस्तार गर्नुहोस्।
x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3
\sqrt{2} को वर्ग संख्या 2 हो।
x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3
दुवै छेउबाट y^{2} घटाउनुहोस्।
x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3
0 प्राप्त गर्नको लागि y^{2} र -y^{2} लाई संयोजन गर्नुहोस्।
x-2x^{2}-y+2x^{2}=3
दुबै छेउहरूमा 2x^{2} थप्नुहोस्।
x-y=3
0 प्राप्त गर्नको लागि -2x^{2} र 2x^{2} लाई संयोजन गर्नुहोस्।
16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)
दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबैतिर 16 ले गुणन गर्नुहोस्।
16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)
\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2} लाई विस्तृत गर्न बाइनोमियल थ्योरम \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} प्रयोग गर्नुहोस्।
16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)
4y^{2}-y+\frac{1}{16} को विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउन, हरेक शब्दको विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउनुहोस्।
32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)
16 लाई 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16} ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।
32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)
256 प्राप्त गर्नको लागि 16 र 16 गुणा गर्नुहोस्।
32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)
255 प्राप्त गर्नको लागि -1 र 256 जोड्नुहोस्।
32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)
256 प्राप्त गर्नको लागि 255 र 1 जोड्नुहोस्।
32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)
16 लाई 2y+3 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।
32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144
32y+48 लाई 3-2y ले गुणन गरेर पदहरू जस्तै गरी संयोजन गर्न वितरणमूलक गुण प्रयोग गर्नुहोस्।
32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144
दुबै छेउहरूमा 64y^{2} थप्नुहोस्।
32x+16y+256=144
0 प्राप्त गर्नको लागि -64y^{2} र 64y^{2} लाई संयोजन गर्नुहोस्।
32x+16y=144-256
दुवै छेउबाट 256 घटाउनुहोस्।
32x+16y=-112
-112 प्राप्त गर्नको लागि 256 बाट 144 घटाउनुहोस्।
x-y=3,32x+16y=-112
निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।
32x+32\left(-1\right)y=32\times 3,32x+16y=-112
x र 32x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 32 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।
32x-32y=96,32x+16y=-112
सरल गर्नुहोस्।
32x-32x-32y-16y=96+112
बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 32x-32y=96 बाट 32x+16y=-112 घटाउनुहोस्।
-32y-16y=96+112
-32x मा 32x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 32x र -32x राशी रद्द हुन्छन्।
-48y=96+112
-16y मा -32y जोड्नुहोस्
-48y=208
112 मा 96 जोड्नुहोस्
y=-\frac{13}{3}
दुबैतिर -48 ले भाग गर्नुहोस्।
32x+16\left(-\frac{13}{3}\right)=-112
32x+16y=-112 मा y लाई -\frac{13}{3} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।
32x-\frac{208}{3}=-112
16 लाई -\frac{13}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।
32x=-\frac{128}{3}
समीकरणको दुबैतिर \frac{208}{3} जोड्नुहोस्।
x=-\frac{4}{3}
दुबैतिर 32 ले भाग गर्नुहोस्।
x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}
अब प्रणाली समाधान भएको छ।
उदाहरणहरू[सम्पादन गर्ने]
द्विघात समीकरण
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
त्रिकोणमिति
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
रैखिक समीकरण
y = 3x + 4
अंकगणित
699 * 533
म्याट्रिक्स
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
समकालिक समीकरण
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
भिन्नता
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integration
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
सीमाहरू
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}