समाधान {l}{x+y=8}{2/5x+5/7ay/8=0.5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 8 } \\ { \frac { \frac { 2 } { 5 } x + \frac { 5 } { 7 } a y } { 8 } = 0.5 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{20\left(7-10a\right)}{25a-14}$$

$$y=\frac{28}{25a-14}$$

$$a\neq \frac{14}{25}$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबैतिर 8 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{2}{5}x+\frac{5}{7}ay=0.5\times 8$$

4 प्राप्त गर्नको लागि 0.5 र 8 गुणा गर्नुहोस्।

$$\frac{2}{5}x+\frac{5}{7}ay=4$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x+y=8,\frac{2}{5}x+\frac{5a}{7}y=4$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x+y=8$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$x=-y+8$$

-y+8 लाई x ले अर्को समीकरण \frac{2}{5}x+\frac{5a}{7}y=4 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\frac{2}{5}\left(-y+8\right)+\frac{5a}{7}y=4$$

\frac{2}{5} लाई -y+8 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}+\frac{5a}{7}y=4$$

\frac{5ay}{7} मा -\frac{2y}{5} जोड्नुहोस्

$$\left(\frac{5a}{7}-\frac{2}{5}\right)y+\frac{16}{5}=4$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{16}{5} घटाउनुहोस्।

$$\left(\frac{5a}{7}-\frac{2}{5}\right)y=\frac{4}{5}$$

दुबैतिर -\frac{2}{5}+\frac{5a}{7} ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{28}{25a-14}$$

x=-y+8 मा y लाई \frac{28}{-14+25a} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{28}{25a-14}+8$$

-\frac{28}{-14+25a} मा 8 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{20\left(10a-7\right)}{25a-14}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{20\left(10a-7\right)}{25a-14},y=\frac{28}{25a-14}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबैतिर 8 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{2}{5}x+\frac{5}{7}ay=0.5\times 8$$

4 प्राप्त गर्नको लागि 0.5 र 8 गुणा गर्नुहोस्।

$$\frac{2}{5}x+\frac{5}{7}ay=4$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x+y=8,\frac{2}{5}x+\frac{5a}{7}y=4$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&\frac{5a}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&\frac{5a}{7}\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&\frac{5a}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&\frac{5a}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&\frac{5a}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&\frac{5a}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&\frac{5a}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5a}{7\left(\frac{5a}{7}-\frac{2}{5}\right)}&-\frac{1}{\frac{5a}{7}-\frac{2}{5}}\\-\frac{\frac{2}{5}}{\frac{5a}{7}-\frac{2}{5}}&\frac{1}{\frac{5a}{7}-\frac{2}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25a}{25a-14}&-\frac{35}{25a-14}\\-\frac{14}{25a-14}&\frac{35}{25a-14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25a}{25a-14}\times 8+\left(-\frac{35}{25a-14}\right)\times 4\\\left(-\frac{14}{25a-14}\right)\times 8+\frac{35}{25a-14}\times 4\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20\left(10a-7\right)}{25a-14}\\\frac{28}{25a-14}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{20\left(10a-7\right)}{25a-14},y=\frac{28}{25a-14}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबैतिर 8 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{2}{5}x+\frac{5}{7}ay=0.5\times 8$$

4 प्राप्त गर्नको लागि 0.5 र 8 गुणा गर्नुहोस्।

$$\frac{2}{5}x+\frac{5}{7}ay=4$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x+y=8,\frac{2}{5}x+\frac{5a}{7}y=4$$

x र \frac{2x}{5} लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई \frac{2}{5} ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=\frac{2}{5}\times 8,\frac{2}{5}x+\frac{5a}{7}y=4$$

सरल गर्नुहोस्।

$$\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=\frac{16}{5},\frac{2}{5}x+\frac{5a}{7}y=4$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर \frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=\frac{16}{5} बाट \frac{2}{5}x+\frac{5a}{7}y=4 घटाउनुहोस्।

$$\frac{2}{5}x-\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y+\left(-\frac{5a}{7}\right)y=\frac{16}{5}-4$$

-\frac{2x}{5} मा \frac{2x}{5} जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै \frac{2x}{5} र -\frac{2x}{5} राशी रद्द हुन्छन्।

$$\frac{2}{5}y+\left(-\frac{5a}{7}\right)y=\frac{16}{5}-4$$

-\frac{5ay}{7} मा \frac{2y}{5} जोड्नुहोस्

$$\left(-\frac{5a}{7}+\frac{2}{5}\right)y=\frac{16}{5}-4$$

-4 मा \frac{16}{5} जोड्नुहोस्

$$\left(-\frac{5a}{7}+\frac{2}{5}\right)y=-\frac{4}{5}$$

दुबैतिर \frac{2}{5}-\frac{5a}{7} ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{28}{14-25a}$$

\frac{2}{5}x+\frac{5a}{7}y=4 मा y लाई -\frac{28}{14-25a} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$\frac{2}{5}x+\frac{5a}{7}\left(-\frac{28}{14-25a}\right)=4$$

\frac{5}{7}a लाई -\frac{28}{14-25a} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{2}{5}x-\frac{20a}{14-25a}=4$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{20a}{14-25a} जोड्नुहोस्।

$$\frac{2}{5}x=\frac{8\left(7-10a\right)}{14-25a}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{2}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=\frac{20\left(7-10a\right)}{14-25a}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{20\left(7-10a\right)}{14-25a},y=-\frac{28}{14-25a}$$