समाधान {l}{x+y=70}{x-2y=100}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 70 } \\ { x - 2 y = 100 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=80$$

$$y=-10$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x+y=70,x-2y=100$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x+y=70$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$x=-y+70$$

-y+70 लाई x ले अर्को समीकरण x-2y=100 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-y+70-2y=100$$

-2y मा -y जोड्नुहोस्

$$-3y+70=100$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 70 घटाउनुहोस्।

$$-3y=30$$

दुबैतिर -3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-10$$

x=-y+70 मा y लाई -10 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\left(-10\right)+70$$

-1 लाई -10 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=10+70$$

10 मा 70 जोड्नुहोस्

$$x=80$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=80,y=-10$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x+y=70,x-2y=100$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}70\\100\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}70\\100\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}70\\100\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}70\\100\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}70\\100\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}70\\100\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 70+\frac{1}{3}\times 100\\\frac{1}{3}\times 70-\frac{1}{3}\times 100\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}80\\-10\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=80,y=-10$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x+y=70,x-2y=100$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर x+y=70 बाट x-2y=100 घटाउनुहोस्।

$$x-x+y+2y=70-100$$

-x मा x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै x र -x राशी रद्द हुन्छन्।

$$y+2y=70-100$$

2y मा y जोड्नुहोस्

$$3y=70-100$$

-100 मा 70 जोड्नुहोस्

$$3y=-30$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-10$$

x-2y=100 मा y लाई -10 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x-2\left(-10\right)=100$$

-2 लाई -10 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x+20=100$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 20 घटाउनुहोस्।

$$x=80$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=80,y=-10$$