समाधान {l}{x+y=67.56}{x-y=12.40}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 67.56 } \\ { x - y = 12.40 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=39.98$$

$$y=27.58$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x+y=67.56,x-y=12.4$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x+y=67.56$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$x=-y+67.56$$

-y+67.56 लाई x ले अर्को समीकरण x-y=12.4 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-y+67.56-y=12.4$$

-y मा -y जोड्नुहोस्

$$-2y+67.56=12.4$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 67.56 घटाउनुहोस्।

$$-2y=-55.16$$

दुबैतिर -2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=27.58$$

x=-y+67.56 मा y लाई 27.58 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-27.58+67.56$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर 67.56 लाई -27.58 मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=39.98$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=39.98,y=27.58$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x+y=67.56,x-y=12.4$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}67.56\\12.4\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}67.56\\12.4\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}67.56\\12.4\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}67.56\\12.4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}67.56\\12.4\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}67.56\\12.4\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 67.56+\frac{1}{2}\times 12.4\\\frac{1}{2}\times 67.56-\frac{1}{2}\times 12.4\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1999}{50}\\\frac{1379}{50}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{1999}{50},y=\frac{1379}{50}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x+y=67.56,x-y=12.4$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर x+y=67.56 बाट x-y=12.4 घटाउनुहोस्।

$$x-x+y+y=67.56-12.4$$

-x मा x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै x र -x राशी रद्द हुन्छन्।

$$y+y=67.56-12.4$$

y मा y जोड्नुहोस्

$$2y=67.56-12.4$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर 67.56 लाई -12.4 मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$2y=55.16$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1379}{50}$$

x-y=12.4 मा y लाई \frac{1379}{50} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x-\frac{1379}{50}=12.4$$

-1 लाई \frac{1379}{50} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x-27.58=12.4$$

समीकरणको दुबैतिर 27.58 जोड्नुहोस्।

$$x=39.98$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=39.98,y=\frac{1379}{50}$$