समाधान {l}{x+y=51x+6}{x-2y=-17}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 51 x + 6 } \\ { x - 2 y = - 17 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{5}{99}\approx 0.050505051$$

$$y = \frac{844}{99} = 8\frac{52}{99} \approx 8.525252525$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 51x घटाउनुहोस्।

$$x+y-51x=6$$

-50x प्राप्त गर्नको लागि x र -51x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-50x+y=6$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-50x+y=6,x-2y=-17$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-50x+y=6$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$-50x=-y+6$$

दुबैतिर -50 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{50}\left(-y+6\right)$$

-\frac{1}{50} लाई -y+6 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{50}y-\frac{3}{25}$$

-\frac{3}{25}+\frac{y}{50} लाई x ले अर्को समीकरण x-2y=-17 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{50}y-\frac{3}{25}-2y=-17$$

-2y मा \frac{y}{50} जोड्नुहोस्

$$-\frac{99}{50}y-\frac{3}{25}=-17$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{3}{25} जोड्नुहोस्।

$$-\frac{99}{50}y=-\frac{422}{25}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{99}{50} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{844}{99}$$

x=\frac{1}{50}y-\frac{3}{25} मा y लाई \frac{844}{99} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{1}{50}\times \frac{844}{99}-\frac{3}{25}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{1}{50} लाई \frac{844}{99} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{422}{2475}-\frac{3}{25}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{3}{25} लाई \frac{422}{2475} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{99}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{5}{99},y=\frac{844}{99}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 51x घटाउनुहोस्।

$$x+y-51x=6$$

-50x प्राप्त गर्नको लागि x र -51x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-50x+y=6$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-50x+y=6,x-2y=-17$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-50&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-17\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-50&1\\1&-2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-50&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-50&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-50&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-17\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-50&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-17\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-50&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-50\left(-2\right)-1}&-\frac{1}{-50\left(-2\right)-1}\\-\frac{1}{-50\left(-2\right)-1}&-\frac{50}{-50\left(-2\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-17\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{99}&-\frac{1}{99}\\-\frac{1}{99}&-\frac{50}{99}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-17\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{99}\times 6-\frac{1}{99}\left(-17\right)\\-\frac{1}{99}\times 6-\frac{50}{99}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{99}\\\frac{844}{99}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{99},y=\frac{844}{99}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 51x घटाउनुहोस्।

$$x+y-51x=6$$

-50x प्राप्त गर्नको लागि x र -51x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-50x+y=6$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-50x+y=6,x-2y=-17$$

-50x र x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -50 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-50x+y=6,-50x-50\left(-2\right)y=-50\left(-17\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-50x+y=6,-50x+100y=850$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -50x+y=6 बाट -50x+100y=850 घटाउनुहोस्।

$$-50x+50x+y-100y=6-850$$

50x मा -50x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -50x र 50x राशी रद्द हुन्छन्।

$$y-100y=6-850$$

-100y मा y जोड्नुहोस्

$$-99y=6-850$$

-850 मा 6 जोड्नुहोस्

$$-99y=-844$$

दुबैतिर -99 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{844}{99}$$

x-2y=-17 मा y लाई \frac{844}{99} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x-2\times \frac{844}{99}=-17$$

-2 लाई \frac{844}{99} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x-\frac{1688}{99}=-17$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{1688}{99} जोड्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{99}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{5}{99},y=\frac{844}{99}$$