समाधान {l}{x+y=45}{18x+120y=6000}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 45 } \\ { 18 x + 120 y = 6000 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{100}{17} = -5\frac{15}{17} \approx -5.882352941$$

$$y = \frac{865}{17} = 50\frac{15}{17} \approx 50.882352941$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x+y=45$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$x=-y+45$$

-y+45 लाई x ले अर्को समीकरण 18x+120y=6000 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$18\left(-y+45\right)+120y=6000$$

18 लाई -y+45 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-18y+810+120y=6000$$

120y मा -18y जोड्नुहोस्

$$102y+810=6000$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 810 घटाउनुहोस्।

$$102y=5190$$

दुबैतिर 102 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{865}{17}$$

x=-y+45 मा y लाई \frac{865}{17} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{865}{17}+45$$

-\frac{865}{17} मा 45 जोड्नुहोस्

$$x=-\frac{100}{17}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{120}{120-18}&-\frac{1}{120-18}\\-\frac{18}{120-18}&\frac{1}{120-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{17}&-\frac{1}{102}\\-\frac{3}{17}&\frac{1}{102}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{17}\times 45-\frac{1}{102}\times 6000\\-\frac{3}{17}\times 45+\frac{1}{102}\times 6000\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{100}{17}\\\frac{865}{17}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

x र 18x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 18 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$18x+18y=18\times 45,18x+120y=6000$$

सरल गर्नुहोस्।

$$18x+18y=810,18x+120y=6000$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 18x+18y=810 बाट 18x+120y=6000 घटाउनुहोस्।

$$18x-18x+18y-120y=810-6000$$

-18x मा 18x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 18x र -18x राशी रद्द हुन्छन्।

$$18y-120y=810-6000$$

-120y मा 18y जोड्नुहोस्

$$-102y=810-6000$$

-6000 मा 810 जोड्नुहोस्

$$-102y=-5190$$

दुबैतिर -102 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{865}{17}$$

18x+120y=6000 मा y लाई \frac{865}{17} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$18x+120\times \frac{865}{17}=6000$$

120 लाई \frac{865}{17} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$18x+\frac{103800}{17}=6000$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{103800}{17} घटाउनुहोस्।

$$18x=-\frac{1800}{17}$$

दुबैतिर 18 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{100}{17}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$