समाधान {l}{x+y=40}{x=1/7y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 40 } \\ { x = \frac { 1 } { 7 } y } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=5$$

$$y=35$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट \frac{1}{7}y घटाउनुहोस्।

$$x-\frac{1}{7}y=0$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x+y=40,x-\frac{1}{7}y=0$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x+y=40$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$x=-y+40$$

-y+40 लाई x ले अर्को समीकरण x-\frac{1}{7}y=0 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-y+40-\frac{1}{7}y=0$$

-\frac{y}{7} मा -y जोड्नुहोस्

$$-\frac{8}{7}y+40=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 40 घटाउनुहोस्।

$$-\frac{8}{7}y=-40$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{8}{7} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=35$$

x=-y+40 मा y लाई 35 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-35+40$$

-35 मा 40 जोड्नुहोस्

$$x=5$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=5,y=35$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट \frac{1}{7}y घटाउनुहोस्।

$$x-\frac{1}{7}y=0$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x+y=40,x-\frac{1}{7}y=0$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{7}}{-\frac{1}{7}-1}&-\frac{1}{-\frac{1}{7}-1}\\-\frac{1}{-\frac{1}{7}-1}&\frac{1}{-\frac{1}{7}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{7}{8}\\\frac{7}{8}&-\frac{7}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 40\\\frac{7}{8}\times 40\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=5,y=35$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट \frac{1}{7}y घटाउनुहोस्।

$$x-\frac{1}{7}y=0$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x+y=40,x-\frac{1}{7}y=0$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर x+y=40 बाट x-\frac{1}{7}y=0 घटाउनुहोस्।

$$x-x+y+\frac{1}{7}y=40$$

-x मा x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै x र -x राशी रद्द हुन्छन्।

$$y+\frac{1}{7}y=40$$

\frac{y}{7} मा y जोड्नुहोस्

$$\frac{8}{7}y=40$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{8}{7} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=35$$

x-\frac{1}{7}y=0 मा y लाई 35 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x-\frac{1}{7}\times 35=0$$

-\frac{1}{7} लाई 35 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x-5=0$$

समीकरणको दुबैतिर 5 जोड्नुहोस्।

$$x=5$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=5,y=35$$