समाधान {l}{x+y=240}{156-3x+168.3y+161*120=1668*360}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 240 } \\ { 156 - 3 x + 168.3 y + 161 \times 120 = 1668 \times 360 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{1802040}{571} = -3155\frac{535}{571} \approx -3155.936952715$$

$$y = \frac{1939080}{571} = 3395\frac{535}{571} \approx 3395.936952715$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x+y=240,-3x+168.3y+19476=600480$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x+y=240$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$x=-y+240$$

-y+240 लाई x ले अर्को समीकरण -3x+168.3y+19476=600480 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-3\left(-y+240\right)+168.3y+19476=600480$$

-3 लाई -y+240 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3y-720+168.3y+19476=600480$$

\frac{1683y}{10} मा 3y जोड्नुहोस्

$$171.3y-720+19476=600480$$

19476 मा -720 जोड्नुहोस्

$$171.3y+18756=600480$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 18756 घटाउनुहोस्।

$$171.3y=581724$$

समीकरणको दुबैतिर 171.3 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{1939080}{571}$$

x=-y+240 मा y लाई \frac{1939080}{571} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1939080}{571}+240$$

-\frac{1939080}{571} मा 240 जोड्नुहोस्

$$x=-\frac{1802040}{571}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{1802040}{571},y=\frac{1939080}{571}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x+y=240,-3x+168.3y+19476=600480$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&168.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}240\\581004\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&1\\-3&168.3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&168.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&168.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&168.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\581004\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&168.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\581004\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&168.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\581004\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{168.3}{168.3-\left(-3\right)}&-\frac{1}{168.3-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{168.3-\left(-3\right)}&\frac{1}{168.3-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}240\\581004\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{561}{571}&-\frac{10}{1713}\\\frac{10}{571}&\frac{10}{1713}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}240\\581004\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{561}{571}\times 240-\frac{10}{1713}\times 581004\\\frac{10}{571}\times 240+\frac{10}{1713}\times 581004\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1802040}{571}\\\frac{1939080}{571}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{1802040}{571},y=\frac{1939080}{571}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x+y=240,-3x+168.3y+19476=600480$$

x र -3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-3x-3y=-3\times 240,-3x+168.3y+19476=600480$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-3x-3y=-720,-3x+168.3y+19476=600480$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -3x-3y=-720 बाट -3x+168.3y+19476=600480 घटाउनुहोस्।

$$-3x+3x-3y-168.3y-19476=-720-600480$$

3x मा -3x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -3x र 3x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-3y-168.3y-19476=-720-600480$$

-\frac{1683y}{10} मा -3y जोड्नुहोस्

$$-171.3y-19476=-720-600480$$

-600480 मा -720 जोड्नुहोस्

$$-171.3y-19476=-601200$$

समीकरणको दुबैतिर 19476 जोड्नुहोस्।

$$-171.3y=-581724$$

समीकरणको दुबैतिर -171.3 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{1939080}{571}$$

-3x+168.3y+19476=600480 मा y लाई \frac{1939080}{571} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-3x+168.3\times \frac{1939080}{571}+19476=600480$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी 168.3 लाई \frac{1939080}{571} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$-3x+\frac{326347164}{571}+19476=600480$$

19476 मा \frac{326347164}{571} जोड्नुहोस्

$$-3x+\frac{337467960}{571}=600480$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{337467960}{571} घटाउनुहोस्।

$$-3x=\frac{5406120}{571}$$

दुबैतिर -3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1802040}{571}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{1802040}{571},y=\frac{1939080}{571}$$