समाधान {l}{x+y=14}{2x+4y=38}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 14 } \\ { 2 x + 4 y = 38 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=9$$

$$y=5$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x+y=14,2x+4y=38$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x+y=14$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$x=-y+14$$

-y+14 लाई x ले अर्को समीकरण 2x+4y=38 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(-y+14\right)+4y=38$$

2 लाई -y+14 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-2y+28+4y=38$$

4y मा -2y जोड्नुहोस्

$$2y+28=38$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 28 घटाउनुहोस्।

$$2y=10$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=5$$

x=-y+14 मा y लाई 5 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-5+14$$

-5 मा 14 जोड्नुहोस्

$$x=9$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=9,y=5$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x+y=14,2x+4y=38$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\38\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\38\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\38\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\38\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2}&-\frac{1}{4-2}\\-\frac{2}{4-2}&\frac{1}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\38\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{1}{2}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\38\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 14-\frac{1}{2}\times 38\\-14+\frac{1}{2}\times 38\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=9,y=5$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x+y=14,2x+4y=38$$

x र 2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2x+2y=2\times 14,2x+4y=38$$

सरल गर्नुहोस्।

$$2x+2y=28,2x+4y=38$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 2x+2y=28 बाट 2x+4y=38 घटाउनुहोस्।

$$2x-2x+2y-4y=28-38$$

-2x मा 2x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 2x र -2x राशी रद्द हुन्छन्।

$$2y-4y=28-38$$

-4y मा 2y जोड्नुहोस्

$$-2y=28-38$$

-38 मा 28 जोड्नुहोस्

$$-2y=-10$$

दुबैतिर -2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=5$$

2x+4y=38 मा y लाई 5 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2x+4\times 5=38$$

4 लाई 5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$2x+20=38$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 20 घटाउनुहोस्।

$$2x=18$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=9$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=9,y=5$$