समाधान {l}{x+y=1}{0.8x+0.6y=12.2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 1 } \\ { 0.8 x + 0.6 y = 12.2 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=58$$

$$y=-57$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x+y=1,0.8x+0.6y=12.2$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x+y=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$x=-y+1$$

-y+1 लाई x ले अर्को समीकरण 0.8x+0.6y=12.2 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$0.8\left(-y+1\right)+0.6y=12.2$$

0.8 लाई -y+1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-0.8y+0.8+0.6y=12.2$$

\frac{3y}{5} मा -\frac{4y}{5} जोड्नुहोस्

$$-0.2y+0.8=12.2$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 0.8 घटाउनुहोस्।

$$-0.2y=11.4$$

दुबैतिर -5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$y=-57$$

x=-y+1 मा y लाई -57 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\left(-57\right)+1$$

-1 लाई -57 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=57+1$$

57 मा 1 जोड्नुहोस्

$$x=58$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=58,y=-57$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x+y=1,0.8x+0.6y=12.2$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.8&0.6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\12.2\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&1\\0.8&0.6\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.8&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.8&0.6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.8&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\12.2\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.8&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\12.2\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.8&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\12.2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.6}{0.6-0.8}&-\frac{1}{0.6-0.8}\\-\frac{0.8}{0.6-0.8}&\frac{1}{0.6-0.8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\12.2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\12.2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3+5\times 12.2\\4-5\times 12.2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}58\\-57\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=58,y=-57$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x+y=1,0.8x+0.6y=12.2$$

x र \frac{4x}{5} लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 0.8 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$0.8x+0.8y=0.8,0.8x+0.6y=12.2$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 0.8x+0.8y=0.8 बाट 0.8x+0.6y=12.2 घटाउनुहोस्।

$$0.8x-0.8x+0.8y-0.6y=\frac{4-61}{5}$$

-\frac{4x}{5} मा \frac{4x}{5} जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै \frac{4x}{5} र -\frac{4x}{5} राशी रद्द हुन्छन्।

$$0.8y-0.6y=\frac{4-61}{5}$$

-\frac{3y}{5} मा \frac{4y}{5} जोड्नुहोस्

$$0.2y=\frac{4-61}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर 0.8 लाई -12.2 मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$0.2y=-11.4$$

दुबैतिर 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$y=-57$$

0.8x+0.6y=12.2 मा y लाई -57 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$0.8x+0.6\left(-57\right)=12.2$$

0.6 लाई -57 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$0.8x-34.2=12.2$$

समीकरणको दुबैतिर 34.2 जोड्नुहोस्।

$$0.8x=46.4$$

समीकरणको दुबैतिर 0.8 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=58$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=58,y=-57$$