समाधान {l}{x+2y=b}{2x-y=ab}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = b } \\ { 2 x - y = a b } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{b\left(2a+1\right)}{5}$$

$$y=\frac{b\left(2-a\right)}{5}$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x+2y=b,2x-y=ab$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x+2y=b$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$x=-2y+b$$

-2y+b लाई x ले अर्को समीकरण 2x-y=ab मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(-2y+b\right)-y=ab$$

2 लाई -2y+b पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-4y+2b-y=ab$$

-y मा -4y जोड्नुहोस्

$$-5y+2b=ab$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2b घटाउनुहोस्।

$$-5y=b\left(a-2\right)$$

दुबैतिर -5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{b\left(a-2\right)}{5}$$

x=-2y+b मा y लाई -\frac{b\left(-2+a\right)}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-2\left(-\frac{b\left(a-2\right)}{5}\right)+b$$

-2 लाई -\frac{b\left(-2+a\right)}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{2b\left(a-2\right)}{5}+b$$

\frac{2b\left(-2+a\right)}{5} मा b जोड्नुहोस्

$$x=\frac{2ab+b}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{2ab+b}{5},y=-\frac{b\left(a-2\right)}{5}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x+2y=b,2x-y=ab$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}b\\ab\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}b\\ab\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}b\\ab\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}b\\ab\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2\times 2}&-\frac{2}{-1-2\times 2}\\-\frac{2}{-1-2\times 2}&\frac{1}{-1-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\ab\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\ab\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}b+\frac{2}{5}ab\\\frac{2}{5}b-\frac{1}{5}ab\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2ab+b}{5}\\\frac{2b-ab}{5}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{2ab+b}{5},y=\frac{2b-ab}{5}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x+2y=b,2x-y=ab$$

x र 2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2x+2\times 2y=2b,2x-y=ab$$

सरल गर्नुहोस्।

$$2x+4y=2b,2x-y=ab$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 2x+4y=2b बाट 2x-y=ab घटाउनुहोस्।

$$2x-2x+4y+y=2b-ab$$

-2x मा 2x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 2x र -2x राशी रद्द हुन्छन्।

$$4y+y=2b-ab$$

y मा 4y जोड्नुहोस्

$$5y=2b-ab$$

-ab मा 2b जोड्नुहोस्

$$5y=b\left(2-a\right)$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{2b-ab}{5}$$

2x-y=ab मा y लाई \frac{2b-ba}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2x-\frac{2b-ab}{5}=ab$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{b\left(-2+a\right)}{5} घटाउनुहोस्।

$$2x=\frac{2b\left(2a+1\right)}{5}$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{2ab+b}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{2ab+b}{5},y=\frac{2b-ab}{5}$$