समाधान {l}{x+2y=7}{4x+3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 7 } \\ { 4 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-3$$

$$y=5$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x+2y=7,4x+3y=3$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x+2y=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$x=-2y+7$$

-2y+7 लाई x ले अर्को समीकरण 4x+3y=3 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4\left(-2y+7\right)+3y=3$$

4 लाई -2y+7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-8y+28+3y=3$$

3y मा -8y जोड्नुहोस्

$$-5y+28=3$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 28 घटाउनुहोस्।

$$-5y=-25$$

दुबैतिर -5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=5$$

x=-2y+7 मा y लाई 5 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-2\times 5+7$$

-2 लाई 5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-10+7$$

-10 मा 7 जोड्नुहोस्

$$x=-3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-3,y=5$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x+2y=7,4x+3y=3$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\times 4}&-\frac{2}{3-2\times 4}\\-\frac{4}{3-2\times 4}&\frac{1}{3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{4}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\times 7+\frac{2}{5}\times 3\\\frac{4}{5}\times 7-\frac{1}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-3,y=5$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x+2y=7,4x+3y=3$$

x र 4x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4x+4\times 2y=4\times 7,4x+3y=3$$

सरल गर्नुहोस्।

$$4x+8y=28,4x+3y=3$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 4x+8y=28 बाट 4x+3y=3 घटाउनुहोस्।

$$4x-4x+8y-3y=28-3$$

-4x मा 4x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 4x र -4x राशी रद्द हुन्छन्।

$$8y-3y=28-3$$

-3y मा 8y जोड्नुहोस्

$$5y=28-3$$

-3 मा 28 जोड्नुहोस्

$$5y=25$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=5$$

4x+3y=3 मा y लाई 5 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$4x+3\times 5=3$$

3 लाई 5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$4x+15=3$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 15 घटाउनुहोस्।

$$4x=-12$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-3,y=5$$