समाधान {l}{x+2y=1}{-x+3y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { - x + 3 y = - 4 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2.2$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x+2y=1,-x+3y=-4$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x+2y=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$x=-2y+1$$

-2y+1 लाई x ले अर्को समीकरण -x+3y=-4 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\left(-2y+1\right)+3y=-4$$

-1 लाई -2y+1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$2y-1+3y=-4$$

3y मा 2y जोड्नुहोस्

$$5y-1=-4$$

समीकरणको दुबैतिर 1 जोड्नुहोस्।

$$5y=-3$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{3}{5}$$

x=-2y+1 मा y लाई -\frac{3}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-2\left(-\frac{3}{5}\right)+1$$

-2 लाई -\frac{3}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{6}{5}+1$$

\frac{6}{5} मा 1 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{11}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{11}{5},y=-\frac{3}{5}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x+2y=1,-x+3y=-4$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{3-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-2\left(-1\right)}&\frac{1}{3-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}-\frac{2}{5}\left(-4\right)\\\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{11}{5},y=-\frac{3}{5}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x+2y=1,-x+3y=-4$$

x र -x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-x-2y=-1,-x+3y=-4$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -x-2y=-1 बाट -x+3y=-4 घटाउनुहोस्।

$$-x+x-2y-3y=-1+4$$

x मा -x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -x र x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-2y-3y=-1+4$$

-3y मा -2y जोड्नुहोस्

$$-5y=-1+4$$

4 मा -1 जोड्नुहोस्

$$-5y=3$$

दुबैतिर -5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{3}{5}$$

-x+3y=-4 मा y लाई -\frac{3}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-x+3\left(-\frac{3}{5}\right)=-4$$

3 लाई -\frac{3}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-x-\frac{9}{5}=-4$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{9}{5} जोड्नुहोस्।

$$-x=-\frac{11}{5}$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{11}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{11}{5},y=-\frac{3}{5}$$