समाधान {l}{ty+2=x}{x^2+4y^2=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { t y + 2 = x } \\ { x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } = 4 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=2\text{, }y=0$$

$$x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}$$

प्रतिस्थापन र वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट x घटाउनुहोस्।

$$ty+2-x=0$$

दुवै छेउबाट 2 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$ty-x=-2$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$ty-x=-2,x^{2}+4y^{2}=4$$

बराबर चिन्हको बायाँतिर हरेको y लाई अलग गरी ty-x=-2 लाई y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$ty-x=-2$$

समीकरणको दुबैतिरबाट -x घटाउनुहोस्।

$$ty=x-2$$

दुबैतिर t ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}$$

\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} लाई y ले अर्को समीकरण x^{2}+4y^{2}=4 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x^{2}+4\left(\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} वर्ग गर्नुहोस्।

$$x^{2}+4\left(\left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}\right)=4$$

4 लाई \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x^{2}+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2} मा x^{2} जोड्नुहोस्

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 4 घटाउनुहोस्।

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}-4=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2} ले, b लाई 4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right) ले र c लाई \frac{16}{t^{2}}-4 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\left(8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}\right)^{2}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right) वर्ग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

-4 लाई 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+\left(-4-\frac{16}{t^{2}}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

-4-\frac{16}{t^{2}} लाई \frac{16}{t^{2}}-4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+16-\frac{256}{t^{4}}}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

-\frac{256}{t^{4}}+16 मा \frac{256}{t^{4}} जोड्नुहोस्

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{16}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

16 को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±4}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

2 लाई 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

अब ± प्लस मानेर x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 4 मा \frac{16}{t^{2}} जोड्नुहोस्

$$x=\frac{4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

4+\frac{16}{t^{2}} लाई 2+\frac{8}{t^{2}} ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=2$$

अब ± माइनस मानेर x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। \frac{16}{t^{2}} बाट 4 घटाउनुहोस्।

$$x=\frac{-4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

\frac{16}{t^{2}}-4 लाई 2+\frac{8}{t^{2}} ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

x: 2 र -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}} का दुईवटा समाधानहरु छन्। दुबै समीकरणहरूलाई समाधान गर्ने समीकरण y को लागि सँगैको समाधान पत्ता लगाउन समीकरण y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} मा 2 लाई x ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{t}\times 2-\frac{2}{t}$$

\frac{1}{t} लाई 2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

अब समीकरण y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} मा x लाई -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस् र दुबै समीकरणहरूमा मिल्ने y को समाधान निकाल्न हल गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{t}\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)-\frac{2}{t}$$

\frac{1}{t} लाई -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=2\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस् (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2\text{, }y=0\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}\text{, }&t\neq -2i\text{ and }t\neq 2i\end{matrix}\right.$$