समाधान {l}{kx+9y=18}{4x-5y=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { kx + 9 y = 18 } \\ { 4 x - 5 y = 20 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{270}{5k+36}$$

$$y=-\frac{4\left(5k-18\right)}{5k+36}$$

$$k\neq -\frac{36}{5}$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$kx+9y=18,4x-5y=20$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$kx+9y=18$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 9y घटाउनुहोस्।

$$kx=-9y+18$$

दुबैतिर k ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{k}\left(-9y+18\right)$$

\frac{1}{k} लाई -9y+18 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\left(-\frac{9}{k}\right)y+\frac{18}{k}$$

\frac{9\left(2-y\right)}{k} लाई x ले अर्को समीकरण 4x-5y=20 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4\left(\left(-\frac{9}{k}\right)y+\frac{18}{k}\right)-5y=20$$

4 लाई \frac{9\left(2-y\right)}{k} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(-\frac{36}{k}\right)y+\frac{72}{k}-5y=20$$

-5y मा -\frac{36y}{k} जोड्नुहोस्

$$\left(-5-\frac{36}{k}\right)y+\frac{72}{k}=20$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{72}{k} घटाउनुहोस्।

$$\left(-5-\frac{36}{k}\right)y=20-\frac{72}{k}$$

दुबैतिर -\frac{36}{k}-5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{4\left(5k-18\right)}{5k+36}$$

x=\left(-\frac{9}{k}\right)y+\frac{18}{k} मा y लाई -\frac{4\left(-18+5k\right)}{36+5k} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\left(-\frac{9}{k}\right)\left(-\frac{4\left(5k-18\right)}{5k+36}\right)+\frac{18}{k}$$

-\frac{9}{k} लाई -\frac{4\left(-18+5k\right)}{36+5k} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{36\left(5k-18\right)}{k\left(5k+36\right)}+\frac{18}{k}$$

\frac{36\left(-18+5k\right)}{k\left(36+5k\right)} मा \frac{18}{k} जोड्नुहोस्

$$x=\frac{270}{5k+36}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{270}{5k+36},y=-\frac{4\left(5k-18\right)}{5k+36}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$kx+9y=18,4x-5y=20$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{k\left(-5\right)-9\times 4}&-\frac{9}{k\left(-5\right)-9\times 4}\\-\frac{4}{k\left(-5\right)-9\times 4}&\frac{k}{k\left(-5\right)-9\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5k+36}&\frac{9}{5k+36}\\\frac{4}{5k+36}&-\frac{k}{5k+36}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5k+36}\times 18+\frac{9}{5k+36}\times 20\\\frac{4}{5k+36}\times 18+\left(-\frac{k}{5k+36}\right)\times 20\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{270}{5k+36}\\\frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{270}{5k+36},y=\frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$kx+9y=18,4x-5y=20$$

kx र 4x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई k ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4kx+4\times 9y=4\times 18,k\times 4x+k\left(-5\right)y=k\times 20$$

सरल गर्नुहोस्।

$$4kx+36y=72,4kx+\left(-5k\right)y=20k$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 4kx+36y=72 बाट 4kx+\left(-5k\right)y=20k घटाउनुहोस्।

$$4kx+\left(-4k\right)x+36y+5ky=72-20k$$

-4kx मा 4kx जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 4kx र -4kx राशी रद्द हुन्छन्।

$$36y+5ky=72-20k$$

5ky मा 36y जोड्नुहोस्

$$\left(5k+36\right)y=72-20k$$

दुबैतिर 36+5k ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}$$

4x-5y=20 मा y लाई \frac{4\left(18-5k\right)}{36+5k} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$4x-5\times \frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}=20$$

-5 लाई \frac{4\left(18-5k\right)}{36+5k} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$4x-\frac{20\left(18-5k\right)}{5k+36}=20$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{20\left(18-5k\right)}{36+5k} जोड्नुहोस्।

$$4x=\frac{1080}{5k+36}$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{270}{5k+36}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{270}{5k+36},y=\frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}$$