समाधान {l}{k+b=2}{2k+b=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { k + b = 2 } \\ { 2 k + b = 1 } \end{array} \right.$$

k, b को लागि हल गर्नुहोस्

$$k=-1$$

$$b=3$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$k+b=2,2k+b=1$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको k लाई अलग गरी k का लागि हल गर्नुहोस्।

$$k+b=2$$

समीकरणको दुबैतिरबाट b घटाउनुहोस्।

$$k=-b+2$$

-b+2 लाई k ले अर्को समीकरण 2k+b=1 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(-b+2\right)+b=1$$

2 लाई -b+2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-2b+4+b=1$$

b मा -2b जोड्नुहोस्

$$-b+4=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 4 घटाउनुहोस्।

$$-b=-3$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$b=3$$

k=-b+2 मा b लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले k लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$k=-3+2$$

-3 मा 2 जोड्नुहोस्

$$k=-1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$k=-1,b=3$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$k+b=2,2k+b=1$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{1}{1-2}\\-\frac{2}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+1\\2\times 2-1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू k र b लाई ता्नुहोस्।

$$k=-1,b=3$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$k+b=2,2k+b=1$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर k+b=2 बाट 2k+b=1 घटाउनुहोस्।

$$k-2k+b-b=2-1$$

-b मा b जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै b र -b राशी रद्द हुन्छन्।

$$k-2k=2-1$$

-2k मा k जोड्नुहोस्

$$-k=2-1$$

-1 मा 2 जोड्नुहोस्

$$-k=1$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$k=-1$$

2k+b=1 मा k लाई -1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले b लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2\left(-1\right)+b=1$$

2 लाई -1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-2+b=1$$

समीकरणको दुबैतिर 2 जोड्नुहोस्।

$$b=3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$k=-1,b=3$$