समाधान {l}{b+c=-1}{3b+c=-9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { b + c = - 1 } \\ { 3 b + c = - 9 } \end{array} \right.$$

b, c को लागि हल गर्नुहोस्

$$b=-4$$

$$c=3$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$b+c=-1,3b+c=-9$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको b लाई अलग गरी b का लागि हल गर्नुहोस्।

$$b+c=-1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट c घटाउनुहोस्।

$$b=-c-1$$

-c-1 लाई b ले अर्को समीकरण 3b+c=-9 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(-c-1\right)+c=-9$$

3 लाई -c-1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-3c-3+c=-9$$

c मा -3c जोड्नुहोस्

$$-2c-3=-9$$

समीकरणको दुबैतिर 3 जोड्नुहोस्।

$$-2c=-6$$

दुबैतिर -2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$c=3$$

b=-c-1 मा c लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले b लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$b=-3-1$$

-3 मा -1 जोड्नुहोस्

$$b=-4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$b=-4,c=3$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$b+c=-1,3b+c=-9$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-9\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-9\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-9\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3}&-\frac{1}{1-3}\\-\frac{3}{1-3}&\frac{1}{1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-9\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}\left(-9\right)\\\frac{3}{2}\left(-1\right)-\frac{1}{2}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू b र c लाई ता्नुहोस्।

$$b=-4,c=3$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$b+c=-1,3b+c=-9$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर b+c=-1 बाट 3b+c=-9 घटाउनुहोस्।

$$b-3b+c-c=-1+9$$

-c मा c जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै c र -c राशी रद्द हुन्छन्।

$$b-3b=-1+9$$

-3b मा b जोड्नुहोस्

$$-2b=-1+9$$

9 मा -1 जोड्नुहोस्

$$-2b=8$$

दुबैतिर -2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$b=-4$$

3b+c=-9 मा b लाई -4 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले c लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3\left(-4\right)+c=-9$$

3 लाई -4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-12+c=-9$$

समीकरणको दुबैतिर 12 जोड्नुहोस्।

$$c=3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$b=-4,c=3$$