\left\{ \begin{array} { l } { a x + b y = e } \\ { c x + d y = f } \end{array} \right.
x, y को लागि हल गर्नुहोस् (complex solution)
\left\{\begin{matrix}x=-\frac{bf-ed}{ad-bc}\text{, }y=-\frac{ec-af}{ad-bc}\text{, }&\left(d\neq 0\text{ or }b\neq 0\right)\text{ and }\left(d\neq 0\text{ or }c\neq 0\right)\text{ and }\left(d=0\text{ or }a\neq \frac{bc}{d}\text{ or }b=0\text{ or }c=0\right)\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-e}{a}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a\neq 0\text{ and }c=\frac{af}{e}\text{ and }d=\frac{bf}{e}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=\frac{f}{d}\text{, }&b=\frac{ed}{f}\text{ and }f\neq 0\text{ and }d\neq 0\text{ and }a=0\text{ and }c=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=\frac{e}{b}\text{, }&c=0\text{ and }a=0\text{ and }b\neq 0\text{ and }f=0\text{ and }d=0\\x=-\frac{ed-bf}{bc}\text{, }y=\frac{e}{b}\text{, }&a=0\text{ and }c\neq 0\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.
x, y को लागि हल गर्नुहोस्
\left\{\begin{matrix}x=-\frac{bf-ed}{ad-bc}\text{, }y=-\frac{ec-af}{ad-bc}\text{, }&\left(d\neq 0\text{ or }b\neq 0\right)\text{ and }\left(d\neq 0\text{ or }c\neq 0\right)\text{ and }\left(d=0\text{ or }a\neq \frac{bc}{d}\text{ or }b=0\text{ or }c=0\right)\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-e}{a}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a\neq 0\text{ and }c=\frac{af}{e}\text{ and }d=\frac{bf}{e}\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=\frac{f}{d}\text{, }&b=\frac{ed}{f}\text{ and }f\neq 0\text{ and }d\neq 0\text{ and }a=0\text{ and }c=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=\frac{e}{b}\text{, }&c=0\text{ and }a=0\text{ and }b\neq 0\text{ and }f=0\text{ and }d=0\\x=-\frac{ed-bf}{bc}\text{, }y=\frac{e}{b}\text{, }&a=0\text{ and }c\neq 0\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.
ग्राफ
साझेदारी गर्नुहोस्
क्लिपबोर्डमा प्रतिलिपि गरियो
ax+by=e,cx+dy=f
प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।
ax+by=e
समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।
ax=\left(-b\right)y+e
समीकरणको दुबैतिरबाट by घटाउनुहोस्।
x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+e\right)
दुबैतिर a ले भाग गर्नुहोस्।
x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}
\frac{1}{a} लाई -by+e पटक गुणन गर्नुहोस्।
c\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}\right)+dy=f
\frac{-by+e}{a} लाई x ले अर्को समीकरण cx+dy=f मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।
\left(-\frac{bc}{a}\right)y+\frac{ec}{a}+dy=f
c लाई \frac{-by+e}{a} पटक गुणन गर्नुहोस्।
\left(-\frac{bc}{a}+d\right)y+\frac{ec}{a}=f
dy मा -\frac{cby}{a} जोड्नुहोस्
\left(-\frac{bc}{a}+d\right)y=f-\frac{ec}{a}
समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{ce}{a} घटाउनुहोस्।
y=\frac{af-ec}{ad-bc}
दुबैतिर d-\frac{cb}{a} ले भाग गर्नुहोस्।
x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{af-ec}{ad-bc}+\frac{e}{a}
x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a} मा y लाई \frac{fa-ce}{da-cb} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।
x=-\frac{b\left(af-ec\right)}{a\left(ad-bc\right)}+\frac{e}{a}
-\frac{b}{a} लाई \frac{fa-ce}{da-cb} पटक गुणन गर्नुहोस्।
x=\frac{ed-bf}{ad-bc}
-\frac{b\left(fa-ce\right)}{a\left(da-cb\right)} मा \frac{e}{a} जोड्नुहोस्
x=\frac{ed-bf}{ad-bc},y=\frac{af-ec}{ad-bc}
अब प्रणाली समाधान भएको छ।
ax+by=e,cx+dy=f
समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)
समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।
inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)
समीकरणलाई \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)
म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)
बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&-\frac{b}{ad-bc}\\-\frac{c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)
2\times 2 मेट्रिक्सको लागि \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), विपरित मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो जसले गर्दा मेट्रिक्स समीकरणलाई लाई मेट्रिक्सको गुणन समस्याको रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}e+\left(-\frac{b}{ad-bc}\right)f\\\left(-\frac{c}{ad-bc}\right)e+\frac{a}{ad-bc}f\end{matrix}\right)
मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{ed-bf}{ad-bc}\\\frac{af-ec}{ad-bc}\end{matrix}\right)
हिसाब गर्नुहोस्।
x=\frac{ed-bf}{ad-bc},y=\frac{af-ec}{ad-bc}
मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।
ax+by=e,cx+dy=f
निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।
cax+cby=ce,acx+ady=af
ax र cx लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई c ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई a ले गुणन गर्नुहोस्।
acx+bcy=ec,acx+ady=af
सरल गर्नुहोस्।
acx+\left(-ac\right)x+bcy+\left(-ad\right)y=ec-af
बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर acx+bcy=ec बाट acx+ady=af घटाउनुहोस्।
bcy+\left(-ad\right)y=ec-af
-cax मा cax जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै cax र -cax राशी रद्द हुन्छन्।
\left(bc-ad\right)y=ec-af
-ady मा cby जोड्नुहोस्
y=\frac{ec-af}{bc-ad}
दुबैतिर cb-ad ले भाग गर्नुहोस्।
cx+d\times \frac{ec-af}{bc-ad}=f
cx+dy=f मा y लाई \frac{ce-af}{cb-ad} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।
cx+\frac{d\left(ec-af\right)}{bc-ad}=f
d लाई \frac{ce-af}{cb-ad} पटक गुणन गर्नुहोस्।
cx=\frac{c\left(bf-ed\right)}{bc-ad}
समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{d\left(ce-af\right)}{cb-ad} घटाउनुहोस्।
x=\frac{bf-ed}{bc-ad}
दुबैतिर c ले भाग गर्नुहोस्।
x=\frac{bf-ed}{bc-ad},y=\frac{ec-af}{bc-ad}
अब प्रणाली समाधान भएको छ।
ax+by=e,cx+dy=f
प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।
ax+by=e
समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।
ax=\left(-b\right)y+e
समीकरणको दुबैतिरबाट by घटाउनुहोस्।
x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+e\right)
दुबैतिर a ले भाग गर्नुहोस्।
x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}
\frac{1}{a} लाई -by+e पटक गुणन गर्नुहोस्।
c\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}\right)+dy=f
\frac{-by+e}{a} लाई x ले अर्को समीकरण cx+dy=f मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।
\left(-\frac{bc}{a}\right)y+\frac{ec}{a}+dy=f
c लाई \frac{-by+e}{a} पटक गुणन गर्नुहोस्।
\left(-\frac{bc}{a}+d\right)y+\frac{ec}{a}=f
dy मा -\frac{cby}{a} जोड्नुहोस्
\left(-\frac{bc}{a}+d\right)y=f-\frac{ec}{a}
समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{ce}{a} घटाउनुहोस्।
y=\frac{af-ec}{ad-bc}
दुबैतिर d-\frac{cb}{a} ले भाग गर्नुहोस्।
x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{af-ec}{ad-bc}+\frac{e}{a}
x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a} मा y लाई \frac{fa-ce}{da-cb} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।
x=-\frac{b\left(af-ec\right)}{a\left(ad-bc\right)}+\frac{e}{a}
-\frac{b}{a} लाई \frac{fa-ce}{da-cb} पटक गुणन गर्नुहोस्।
x=\frac{ed-bf}{ad-bc}
-\frac{b\left(fa-ce\right)}{a\left(da-cb\right)} मा \frac{e}{a} जोड्नुहोस्
x=\frac{ed-bf}{ad-bc},y=\frac{af-ec}{ad-bc}
अब प्रणाली समाधान भएको छ।
ax+by=e,cx+dy=f
समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)
समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।
inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)
समीकरणलाई \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)
म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)
बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&-\frac{b}{ad-bc}\\-\frac{c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)
2\times 2 मेट्रिक्सको लागि \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), विपरित मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो जसले गर्दा मेट्रिक्स समीकरणलाई लाई मेट्रिक्सको गुणन समस्याको रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}e+\left(-\frac{b}{ad-bc}\right)f\\\left(-\frac{c}{ad-bc}\right)e+\frac{a}{ad-bc}f\end{matrix}\right)
मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{ed-bf}{ad-bc}\\\frac{af-ec}{ad-bc}\end{matrix}\right)
हिसाब गर्नुहोस्।
x=\frac{ed-bf}{ad-bc},y=\frac{af-ec}{ad-bc}
मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।
ax+by=e,cx+dy=f
निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।
cax+cby=ce,acx+ady=af
ax र cx लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई c ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई a ले गुणन गर्नुहोस्।
acx+bcy=ec,acx+ady=af
सरल गर्नुहोस्।
acx+\left(-ac\right)x+bcy+\left(-ad\right)y=ec-af
बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर acx+bcy=ec बाट acx+ady=af घटाउनुहोस्।
bcy+\left(-ad\right)y=ec-af
-cax मा cax जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै cax र -cax राशी रद्द हुन्छन्।
\left(bc-ad\right)y=ec-af
-ady मा cby जोड्नुहोस्
y=\frac{ec-af}{bc-ad}
दुबैतिर cb-ad ले भाग गर्नुहोस्।
cx+d\times \frac{ec-af}{bc-ad}=f
cx+dy=f मा y लाई \frac{ce-af}{cb-ad} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।
cx+\frac{d\left(ec-af\right)}{bc-ad}=f
d लाई \frac{ce-af}{cb-ad} पटक गुणन गर्नुहोस्।
cx=\frac{c\left(bf-ed\right)}{bc-ad}
समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{d\left(ce-af\right)}{cb-ad} घटाउनुहोस्।
x=\frac{bf-ed}{bc-ad}
दुबैतिर c ले भाग गर्नुहोस्।
x=\frac{bf-ed}{bc-ad},y=\frac{ec-af}{bc-ad}
अब प्रणाली समाधान भएको छ।
उदाहरणहरू[सम्पादन गर्ने]
द्विघात समीकरण
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
त्रिकोणमिति
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
रैखिक समीकरण
y = 3x + 4
अंकगणित
699 * 533
म्याट्रिक्स
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
समकालिक समीकरण
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
भिन्नता
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integration
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
सीमाहरू
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}