समाधान {l}{9x+2y+6=0}{x+y-4=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x + 2 y + 6 = 0 } \\ { x + y - 4 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-2$$

$$y=6$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$9x+2y+6=0,x+y-4=0$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$9x+2y+6=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 6 घटाउनुहोस्।

$$9x+2y=-6$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$9x=-2y-6$$

दुबैतिर 9 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{9}\left(-2y-6\right)$$

\frac{1}{9} लाई -2y-6 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{2}{9}y-\frac{2}{3}$$

-\frac{2y}{9}-\frac{2}{3} लाई x ले अर्को समीकरण x+y-4=0 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\frac{2}{9}y-\frac{2}{3}+y-4=0$$

y मा -\frac{2y}{9} जोड्नुहोस्

$$\frac{7}{9}y-\frac{2}{3}-4=0$$

-4 मा -\frac{2}{3} जोड्नुहोस्

$$\frac{7}{9}y-\frac{14}{3}=0$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{14}{3} जोड्नुहोस्।

$$\frac{7}{9}y=\frac{14}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{7}{9} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=6$$

x=-\frac{2}{9}y-\frac{2}{3} मा y लाई 6 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{2}{9}\times 6-\frac{2}{3}$$

-\frac{2}{9} लाई 6 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-4-2}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{2}{3} लाई -\frac{4}{3} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-2,y=6$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$9x+2y+6=0,x+y-4=0$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}9&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\4\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}9&2\\1&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\4\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\4\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-2}&-\frac{2}{9-2}\\-\frac{1}{9-2}&\frac{9}{9-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\4\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{9}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\4\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-6\right)-\frac{2}{7}\times 4\\-\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{9}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\6\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-2,y=6$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$9x+2y+6=0,x+y-4=0$$

9x र x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 9 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$9x+2y+6=0,9x+9y+9\left(-4\right)=0$$

सरल गर्नुहोस्।

$$9x+2y+6=0,9x+9y-36=0$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 9x+2y+6=0 बाट 9x+9y-36=0 घटाउनुहोस्।

$$9x-9x+2y-9y+6+36=0$$

-9x मा 9x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 9x र -9x राशी रद्द हुन्छन्।

$$2y-9y+6+36=0$$

-9y मा 2y जोड्नुहोस्

$$-7y+6+36=0$$

36 मा 6 जोड्नुहोस्

$$-7y+42=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 42 घटाउनुहोस्।

$$-7y=-42$$

दुबैतिर -7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=6$$

x+y-4=0 मा y लाई 6 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x+6-4=0$$

-4 मा 6 जोड्नुहोस्

$$x+2=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2 घटाउनुहोस्।

$$x=-2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-2,y=6$$