समाधान {l}{8x+y=32}{4x+3y=18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + y = 32 } \\ { 4 x + 3 y = 18 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{39}{10} = 3\frac{9}{10} = 3.9$$

$$y=\frac{4}{5}=0.8$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$8x+y=32,4x+3y=18$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$8x+y=32$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$8x=-y+32$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+32\right)$$

\frac{1}{8} लाई -y+32 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{8}y+4$$

-\frac{y}{8}+4 लाई x ले अर्को समीकरण 4x+3y=18 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4\left(-\frac{1}{8}y+4\right)+3y=18$$

4 लाई -\frac{y}{8}+4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{1}{2}y+16+3y=18$$

3y मा -\frac{y}{2} जोड्नुहोस्

$$\frac{5}{2}y+16=18$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 16 घटाउनुहोस्।

$$\frac{5}{2}y=2$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{5}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{4}{5}$$

x=-\frac{1}{8}y+4 मा y लाई \frac{4}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{8}\times \frac{4}{5}+4$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{1}{8} लाई \frac{4}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{10}+4$$

-\frac{1}{10} मा 4 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{39}{10}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{39}{10},y=\frac{4}{5}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$8x+y=32,4x+3y=18$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\18\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\18\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\18\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-4}&-\frac{1}{8\times 3-4}\\-\frac{4}{8\times 3-4}&\frac{8}{8\times 3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\18\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&-\frac{1}{20}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\18\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}\times 32-\frac{1}{20}\times 18\\-\frac{1}{5}\times 32+\frac{2}{5}\times 18\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{39}{10}\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{39}{10},y=\frac{4}{5}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$8x+y=32,4x+3y=18$$

8x र 4x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 8 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4\times 8x+4y=4\times 32,8\times 4x+8\times 3y=8\times 18$$

सरल गर्नुहोस्।

$$32x+4y=128,32x+24y=144$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 32x+4y=128 बाट 32x+24y=144 घटाउनुहोस्।

$$32x-32x+4y-24y=128-144$$

-32x मा 32x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 32x र -32x राशी रद्द हुन्छन्।

$$4y-24y=128-144$$

-24y मा 4y जोड्नुहोस्

$$-20y=128-144$$

-144 मा 128 जोड्नुहोस्

$$-20y=-16$$

दुबैतिर -20 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{4}{5}$$

4x+3y=18 मा y लाई \frac{4}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$4x+3\times \frac{4}{5}=18$$

3 लाई \frac{4}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$4x+\frac{12}{5}=18$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{12}{5} घटाउनुहोस्।

$$4x=\frac{78}{5}$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{39}{10}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{39}{10},y=\frac{4}{5}$$