समाधान {l}{8x+56y=80}{8x-2y=27}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 56 y = 80 } \\ { 8 x - 2 y = 27 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{209}{58} = 3\frac{35}{58} \approx 3.603448276$$

$$y=\frac{53}{58}\approx 0.913793103$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$8x+56y=80,8x-2y=27$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$8x+56y=80$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 56y घटाउनुहोस्।

$$8x=-56y+80$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{8}\left(-56y+80\right)$$

\frac{1}{8} लाई -56y+80 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-7y+10$$

-7y+10 लाई x ले अर्को समीकरण 8x-2y=27 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$8\left(-7y+10\right)-2y=27$$

8 लाई -7y+10 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-56y+80-2y=27$$

-2y मा -56y जोड्नुहोस्

$$-58y+80=27$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 80 घटाउनुहोस्।

$$-58y=-53$$

दुबैतिर -58 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{53}{58}$$

x=-7y+10 मा y लाई \frac{53}{58} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-7\times \frac{53}{58}+10$$

-7 लाई \frac{53}{58} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{371}{58}+10$$

-\frac{371}{58} मा 10 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{209}{58}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{209}{58},y=\frac{53}{58}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$8x+56y=80,8x-2y=27$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}8&56\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}80\\27\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}8&56\\8&-2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&56\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&56\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&56\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80\\27\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&56\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80\\27\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&56\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80\\27\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{8\left(-2\right)-56\times 8}&-\frac{56}{8\left(-2\right)-56\times 8}\\-\frac{8}{8\left(-2\right)-56\times 8}&\frac{8}{8\left(-2\right)-56\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}80\\27\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{232}&\frac{7}{58}\\\frac{1}{58}&-\frac{1}{58}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}80\\27\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{232}\times 80+\frac{7}{58}\times 27\\\frac{1}{58}\times 80-\frac{1}{58}\times 27\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{209}{58}\\\frac{53}{58}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{209}{58},y=\frac{53}{58}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$8x+56y=80,8x-2y=27$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 8x+56y=80 बाट 8x-2y=27 घटाउनुहोस्।

$$8x-8x+56y+2y=80-27$$

-8x मा 8x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 8x र -8x राशी रद्द हुन्छन्।

$$56y+2y=80-27$$

2y मा 56y जोड्नुहोस्

$$58y=80-27$$

-27 मा 80 जोड्नुहोस्

$$58y=53$$

दुबैतिर 58 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{53}{58}$$

8x-2y=27 मा y लाई \frac{53}{58} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$8x-2\times \frac{53}{58}=27$$

-2 लाई \frac{53}{58} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$8x-\frac{53}{29}=27$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{53}{29} जोड्नुहोस्।

$$8x=\frac{836}{29}$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{209}{58}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{209}{58},y=\frac{53}{58}$$