समाधान {l}{8x+2y=-1}{3x+4y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 2 y = - 1 } \\ { 3 x + 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{1}{13}\approx -0.076923077$$

$$y=-\frac{5}{26}\approx -0.192307692$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$8x+2y=-1,3x+4y=-1$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$8x+2y=-1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$8x=-2y-1$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y-1\right)$$

\frac{1}{8} लाई -2y-1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{1}{8}$$

-\frac{y}{4}-\frac{1}{8} लाई x ले अर्को समीकरण 3x+4y=-1 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{8}\right)+4y=-1$$

3 लाई -\frac{y}{4}-\frac{1}{8} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{3}{4}y-\frac{3}{8}+4y=-1$$

4y मा -\frac{3y}{4} जोड्नुहोस्

$$\frac{13}{4}y-\frac{3}{8}=-1$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{3}{8} जोड्नुहोस्।

$$\frac{13}{4}y=-\frac{5}{8}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{13}{4} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{5}{26}$$

x=-\frac{1}{4}y-\frac{1}{8} मा y लाई -\frac{5}{26} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{4}\left(-\frac{5}{26}\right)-\frac{1}{8}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{1}{4} लाई -\frac{5}{26} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{104}-\frac{1}{8}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{1}{8} लाई \frac{5}{104} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{13}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{1}{13},y=-\frac{5}{26}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$8x+2y=-1,3x+4y=-1$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}8&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}8&2\\3&4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{8\times 4-2\times 3}&-\frac{2}{8\times 4-2\times 3}\\-\frac{3}{8\times 4-2\times 3}&\frac{8}{8\times 4-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{1}{13}\\-\frac{3}{26}&\frac{4}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\left(-1\right)-\frac{1}{13}\left(-1\right)\\-\frac{3}{26}\left(-1\right)+\frac{4}{13}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\\-\frac{5}{26}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{13},y=-\frac{5}{26}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$8x+2y=-1,3x+4y=-1$$

8x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 8 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 8x+3\times 2y=3\left(-1\right),8\times 3x+8\times 4y=8\left(-1\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$24x+6y=-3,24x+32y=-8$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 24x+6y=-3 बाट 24x+32y=-8 घटाउनुहोस्।

$$24x-24x+6y-32y=-3+8$$

-24x मा 24x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 24x र -24x राशी रद्द हुन्छन्।

$$6y-32y=-3+8$$

-32y मा 6y जोड्नुहोस्

$$-26y=-3+8$$

8 मा -3 जोड्नुहोस्

$$-26y=5$$

दुबैतिर -26 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{5}{26}$$

3x+4y=-1 मा y लाई -\frac{5}{26} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x+4\left(-\frac{5}{26}\right)=-1$$

4 लाई -\frac{5}{26} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3x-\frac{10}{13}=-1$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{10}{13} जोड्नुहोस्।

$$3x=-\frac{3}{13}$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{13}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{1}{13},y=-\frac{5}{26}$$