समाधान {l}{7x-8y=9}{4x-13y=-10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x - 8 y = 9 } \\ { 4 x - 13 y = - 10 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{197}{59} = 3\frac{20}{59} \approx 3.338983051$$

$$y = \frac{106}{59} = 1\frac{47}{59} \approx 1.796610169$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$7x-8y=9$$

समीकरणको दुबैतिर 8y जोड्नुहोस्।

$$7x=8y+9$$

दुबैतिर 7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{7}\left(8y+9\right)$$

\frac{1}{7} लाई 8y+9 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}$$

\frac{8y+9}{7} लाई x ले अर्को समीकरण 4x-13y=-10 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4\left(\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}\right)-13y=-10$$

4 लाई \frac{8y+9}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{32}{7}y+\frac{36}{7}-13y=-10$$

-13y मा \frac{32y}{7} जोड्नुहोस्

$$-\frac{59}{7}y+\frac{36}{7}=-10$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{36}{7} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{59}{7}y=-\frac{106}{7}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{59}{7} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{106}{59}$$

x=\frac{8}{7}y+\frac{9}{7} मा y लाई \frac{106}{59} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{8}{7}\times \frac{106}{59}+\frac{9}{7}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{8}{7} लाई \frac{106}{59} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{848}{413}+\frac{9}{7}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{9}{7} लाई \frac{848}{413} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{197}{59}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}&-\frac{-8}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}\\-\frac{4}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}&\frac{7}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{59}&-\frac{8}{59}\\\frac{4}{59}&-\frac{7}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{59}\times 9-\frac{8}{59}\left(-10\right)\\\frac{4}{59}\times 9-\frac{7}{59}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{197}{59}\\\frac{106}{59}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

7x र 4x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 7 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4\times 7x+4\left(-8\right)y=4\times 9,7\times 4x+7\left(-13\right)y=7\left(-10\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$28x-32y=36,28x-91y=-70$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 28x-32y=36 बाट 28x-91y=-70 घटाउनुहोस्।

$$28x-28x-32y+91y=36+70$$

-28x मा 28x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 28x र -28x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-32y+91y=36+70$$

91y मा -32y जोड्नुहोस्

$$59y=36+70$$

70 मा 36 जोड्नुहोस्

$$59y=106$$

दुबैतिर 59 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{106}{59}$$

4x-13y=-10 मा y लाई \frac{106}{59} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$4x-13\times \frac{106}{59}=-10$$

-13 लाई \frac{106}{59} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$4x-\frac{1378}{59}=-10$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{1378}{59} जोड्नुहोस्।

$$4x=\frac{788}{59}$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{197}{59}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$