समाधान {l}{7x-5y=2}{5x-3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x - 5 y = 2 } \\ { 5 x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

$$y = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$7x-5y=2,5x-3y=3$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$7x-5y=2$$

समीकरणको दुबैतिर 5y जोड्नुहोस्।

$$7x=5y+2$$

दुबैतिर 7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{7}\left(5y+2\right)$$

\frac{1}{7} लाई 5y+2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{7}y+\frac{2}{7}$$

\frac{5y+2}{7} लाई x ले अर्को समीकरण 5x-3y=3 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5\left(\frac{5}{7}y+\frac{2}{7}\right)-3y=3$$

5 लाई \frac{5y+2}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{25}{7}y+\frac{10}{7}-3y=3$$

-3y मा \frac{25y}{7} जोड्नुहोस्

$$\frac{4}{7}y+\frac{10}{7}=3$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{10}{7} घटाउनुहोस्।

$$\frac{4}{7}y=\frac{11}{7}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{4}{7} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{11}{4}$$

x=\frac{5}{7}y+\frac{2}{7} मा y लाई \frac{11}{4} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{5}{7}\times \frac{11}{4}+\frac{2}{7}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{5}{7} लाई \frac{11}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{55}{28}+\frac{2}{7}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{2}{7} लाई \frac{55}{28} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{9}{4}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{11}{4}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$7x-5y=2,5x-3y=3$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}7&-5\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}7&-5\\5&-3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-5\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7\left(-3\right)-\left(-5\times 5\right)}&-\frac{-5}{7\left(-3\right)-\left(-5\times 5\right)}\\-\frac{5}{7\left(-3\right)-\left(-5\times 5\right)}&\frac{7}{7\left(-3\right)-\left(-5\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{5}{4}\\-\frac{5}{4}&\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\times 2+\frac{5}{4}\times 3\\-\frac{5}{4}\times 2+\frac{7}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\\\frac{11}{4}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{11}{4}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$7x-5y=2,5x-3y=3$$

7x र 5x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 7 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5\times 7x+5\left(-5\right)y=5\times 2,7\times 5x+7\left(-3\right)y=7\times 3$$

सरल गर्नुहोस्।

$$35x-25y=10,35x-21y=21$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 35x-25y=10 बाट 35x-21y=21 घटाउनुहोस्।

$$35x-35x-25y+21y=10-21$$

-35x मा 35x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 35x र -35x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-25y+21y=10-21$$

21y मा -25y जोड्नुहोस्

$$-4y=10-21$$

-21 मा 10 जोड्नुहोस्

$$-4y=-11$$

दुबैतिर -4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{11}{4}$$

5x-3y=3 मा y लाई \frac{11}{4} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$5x-3\times \frac{11}{4}=3$$

-3 लाई \frac{11}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$5x-\frac{33}{4}=3$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{33}{4} जोड्नुहोस्।

$$5x=\frac{45}{4}$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{9}{4}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{11}{4}$$