समाधान {l}{6x+3y=-3}{5x-8y=55}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 3 y = - 3 } \\ { 5 x - 8 y = 55 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{47}{21} = 2\frac{5}{21} \approx 2.238095238$$

$$y = -\frac{115}{21} = -5\frac{10}{21} \approx -5.476190476$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$6x+3y=-3,5x-8y=55$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$6x+3y=-3$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$6x=-3y-3$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y-3\right)$$

\frac{1}{6} लाई -3y-3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$$

\frac{-y-1}{2} लाई x ले अर्को समीकरण 5x-8y=55 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5\left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)-8y=55$$

5 लाई \frac{-y-1}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{5}{2}y-\frac{5}{2}-8y=55$$

-8y मा -\frac{5y}{2} जोड्नुहोस्

$$-\frac{21}{2}y-\frac{5}{2}=55$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{5}{2} जोड्नुहोस्।

$$-\frac{21}{2}y=\frac{115}{2}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{21}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{115}{21}$$

x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2} मा y लाई -\frac{115}{21} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{115}{21}\right)-\frac{1}{2}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{1}{2} लाई -\frac{115}{21} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{115}{42}-\frac{1}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{1}{2} लाई \frac{115}{42} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{47}{21}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{47}{21},y=-\frac{115}{21}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$6x+3y=-3,5x-8y=55$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}6&3\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\55\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}6&3\\5&-8\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\55\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\55\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\55\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-3\times 5}&-\frac{3}{6\left(-8\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{6\left(-8\right)-3\times 5}&\frac{6}{6\left(-8\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\55\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{63}&\frac{1}{21}\\\frac{5}{63}&-\frac{2}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\55\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{63}\left(-3\right)+\frac{1}{21}\times 55\\\frac{5}{63}\left(-3\right)-\frac{2}{21}\times 55\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{47}{21}\\-\frac{115}{21}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{47}{21},y=-\frac{115}{21}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$6x+3y=-3,5x-8y=55$$

6x र 5x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 6 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5\times 6x+5\times 3y=5\left(-3\right),6\times 5x+6\left(-8\right)y=6\times 55$$

सरल गर्नुहोस्।

$$30x+15y=-15,30x-48y=330$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 30x+15y=-15 बाट 30x-48y=330 घटाउनुहोस्।

$$30x-30x+15y+48y=-15-330$$

-30x मा 30x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 30x र -30x राशी रद्द हुन्छन्।

$$15y+48y=-15-330$$

48y मा 15y जोड्नुहोस्

$$63y=-15-330$$

-330 मा -15 जोड्नुहोस्

$$63y=-345$$

दुबैतिर 63 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{115}{21}$$

5x-8y=55 मा y लाई -\frac{115}{21} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$5x-8\left(-\frac{115}{21}\right)=55$$

-8 लाई -\frac{115}{21} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$5x+\frac{920}{21}=55$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{920}{21} घटाउनुहोस्।

$$5x=\frac{235}{21}$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{47}{21}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{47}{21},y=-\frac{115}{21}$$