समाधान {l}{6x+2y=300}{3x+5y=600}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 2 y = 300 } \\ { 3 x + 5 y = 600 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{25}{2} = 12\frac{1}{2} = 12.5$$

$$y = \frac{225}{2} = 112\frac{1}{2} = 112.5$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$6x+2y=300$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$6x=-2y+300$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y+300\right)$$

\frac{1}{6} लाई -2y+300 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{3}y+50$$

-\frac{y}{3}+50 लाई x ले अर्को समीकरण 3x+5y=600 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(-\frac{1}{3}y+50\right)+5y=600$$

3 लाई -\frac{y}{3}+50 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-y+150+5y=600$$

5y मा -y जोड्नुहोस्

$$4y+150=600$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 150 घटाउनुहोस्।

$$4y=450$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{225}{2}$$

x=-\frac{1}{3}y+50 मा y लाई \frac{225}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{225}{2}+50$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{1}{3} लाई \frac{225}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{75}{2}+50$$

-\frac{75}{2} मा 50 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{25}{2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-2\times 3}&-\frac{2}{6\times 5-2\times 3}\\-\frac{3}{6\times 5-2\times 3}&\frac{6}{6\times 5-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}&-\frac{1}{12}\\-\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}\times 300-\frac{1}{12}\times 600\\-\frac{1}{8}\times 300+\frac{1}{4}\times 600\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{2}\\\frac{225}{2}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

6x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 6 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 6x+3\times 2y=3\times 300,6\times 3x+6\times 5y=6\times 600$$

सरल गर्नुहोस्।

$$18x+6y=900,18x+30y=3600$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 18x+6y=900 बाट 18x+30y=3600 घटाउनुहोस्।

$$18x-18x+6y-30y=900-3600$$

-18x मा 18x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 18x र -18x राशी रद्द हुन्छन्।

$$6y-30y=900-3600$$

-30y मा 6y जोड्नुहोस्

$$-24y=900-3600$$

-3600 मा 900 जोड्नुहोस्

$$-24y=-2700$$

दुबैतिर -24 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{225}{2}$$

3x+5y=600 मा y लाई \frac{225}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x+5\times \frac{225}{2}=600$$

5 लाई \frac{225}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3x+\frac{1125}{2}=600$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{1125}{2} घटाउनुहोस्।

$$3x=\frac{75}{2}$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{25}{2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$