समाधान {l}{6x+15y=360}{8x+10y=440}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 15 y = 360 } \\ { 8 x + 10 y = 440 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=50$$

$$y=4$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$6x+15y=360$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 15y घटाउनुहोस्।

$$6x=-15y+360$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{6}\left(-15y+360\right)$$

\frac{1}{6} लाई -15y+360 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{5}{2}y+60$$

-\frac{5y}{2}+60 लाई x ले अर्को समीकरण 8x+10y=440 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$8\left(-\frac{5}{2}y+60\right)+10y=440$$

8 लाई -\frac{5y}{2}+60 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-20y+480+10y=440$$

10y मा -20y जोड्नुहोस्

$$-10y+480=440$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 480 घटाउनुहोस्।

$$-10y=-40$$

दुबैतिर -10 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=4$$

x=-\frac{5}{2}y+60 मा y लाई 4 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{5}{2}\times 4+60$$

-\frac{5}{2} लाई 4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-10+60$$

-10 मा 60 जोड्नुहोस्

$$x=50$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=50,y=4$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{6\times 10-15\times 8}&-\frac{15}{6\times 10-15\times 8}\\-\frac{8}{6\times 10-15\times 8}&\frac{6}{6\times 10-15\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 360+\frac{1}{4}\times 440\\\frac{2}{15}\times 360-\frac{1}{10}\times 440\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\4\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=50,y=4$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

6x र 8x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 8 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 6 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$8\times 6x+8\times 15y=8\times 360,6\times 8x+6\times 10y=6\times 440$$

सरल गर्नुहोस्।

$$48x+120y=2880,48x+60y=2640$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 48x+120y=2880 बाट 48x+60y=2640 घटाउनुहोस्।

$$48x-48x+120y-60y=2880-2640$$

-48x मा 48x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 48x र -48x राशी रद्द हुन्छन्।

$$120y-60y=2880-2640$$

-60y मा 120y जोड्नुहोस्

$$60y=2880-2640$$

-2640 मा 2880 जोड्नुहोस्

$$60y=240$$

दुबैतिर 60 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=4$$

8x+10y=440 मा y लाई 4 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$8x+10\times 4=440$$

10 लाई 4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$8x+40=440$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 40 घटाउनुहोस्।

$$8x=400$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=50$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=50,y=4$$