समाधान {l}{6u+4v=5}{9u-8v=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 u + 4 v = 5 } \\ { 9 u - 8 v = 4 } \end{array} \right.$$

u, v को लागि हल गर्नुहोस्

$$u=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$v=\frac{1}{4}=0.25$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको u लाई अलग गरी u का लागि हल गर्नुहोस्।

$$6u+4v=5$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 4v घटाउनुहोस्।

$$6u=-4v+5$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$u=\frac{1}{6}\left(-4v+5\right)$$

\frac{1}{6} लाई -4v+5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}$$

-\frac{2v}{3}+\frac{5}{6} लाई u ले अर्को समीकरण 9u-8v=4 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$9\left(-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}\right)-8v=4$$

9 लाई -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-6v+\frac{15}{2}-8v=4$$

-8v मा -6v जोड्नुहोस्

$$-14v+\frac{15}{2}=4$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{15}{2} घटाउनुहोस्।

$$-14v=-\frac{7}{2}$$

दुबैतिर -14 ले भाग गर्नुहोस्।

$$v=\frac{1}{4}$$

u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6} मा v लाई \frac{1}{4} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले u लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$u=-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}+\frac{5}{6}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{2}{3} लाई \frac{1}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$u=\frac{-1+5}{6}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{5}{6} लाई -\frac{1}{6} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$u=\frac{2}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-4\times 9}&-\frac{4}{6\left(-8\right)-4\times 9}\\-\frac{9}{6\left(-8\right)-4\times 9}&\frac{6}{6\left(-8\right)-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{3}{28}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}\times 5+\frac{1}{21}\times 4\\\frac{3}{28}\times 5-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू u र v लाई ता्नुहोस्।

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

6u र 9u लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 9 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 6 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$9\times 6u+9\times 4v=9\times 5,6\times 9u+6\left(-8\right)v=6\times 4$$

सरल गर्नुहोस्।

$$54u+36v=45,54u-48v=24$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 54u+36v=45 बाट 54u-48v=24 घटाउनुहोस्।

$$54u-54u+36v+48v=45-24$$

-54u मा 54u जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 54u र -54u राशी रद्द हुन्छन्।

$$36v+48v=45-24$$

48v मा 36v जोड्नुहोस्

$$84v=45-24$$

-24 मा 45 जोड्नुहोस्

$$84v=21$$

दुबैतिर 84 ले भाग गर्नुहोस्।

$$v=\frac{1}{4}$$

9u-8v=4 मा v लाई \frac{1}{4} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले u लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$9u-8\times \frac{1}{4}=4$$

-8 लाई \frac{1}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$9u-2=4$$

समीकरणको दुबैतिर 2 जोड्नुहोस्।

$$9u=6$$

दुबैतिर 9 ले भाग गर्नुहोस्।

$$u=\frac{2}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$