समाधान {l}{6+2a+b=0}{24-4a+b=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 + 2 a + b = 0 } \\ { 24 - 4 a + b = 0 } \end{array} \right.$$

a, b को लागि हल गर्नुहोस्

$$a=3$$

$$b=-12$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2a+b+6=0,-4a+b+24=0$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको a लाई अलग गरी a का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2a+b+6=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 6 घटाउनुहोस्।

$$2a+b=-6$$

समीकरणको दुबैतिरबाट b घटाउनुहोस्।

$$2a=-b-6$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=\frac{1}{2}\left(-b-6\right)$$

\frac{1}{2} लाई -b-6 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a=-\frac{1}{2}b-3$$

-\frac{b}{2}-3 लाई a ले अर्को समीकरण -4a+b+24=0 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-4\left(-\frac{1}{2}b-3\right)+b+24=0$$

-4 लाई -\frac{b}{2}-3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$2b+12+b+24=0$$

b मा 2b जोड्नुहोस्

$$3b+12+24=0$$

24 मा 12 जोड्नुहोस्

$$3b+36=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 36 घटाउनुहोस्।

$$3b=-36$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$b=-12$$

a=-\frac{1}{2}b-3 मा b लाई -12 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$a=-\frac{1}{2}\left(-12\right)-3$$

-\frac{1}{2} लाई -12 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a=6-3$$

6 मा -3 जोड्नुहोस्

$$a=3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=3,b=-12$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2a+b+6=0,-4a+b+24=0$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-4\right)}&-\frac{1}{2-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2-\left(-4\right)}&\frac{2}{2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-6\right)-\frac{1}{6}\left(-24\right)\\\frac{2}{3}\left(-6\right)+\frac{1}{3}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-12\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू a र b लाई ता्नुहोस्।

$$a=3,b=-12$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2a+b+6=0,-4a+b+24=0$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 2a+b+6=0 बाट -4a+b+24=0 घटाउनुहोस्।

$$2a+4a+b-b+6-24=0$$

-b मा b जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै b र -b राशी रद्द हुन्छन्।

$$2a+4a+6-24=0$$

4a मा 2a जोड्नुहोस्

$$6a+6-24=0$$

-24 मा 6 जोड्नुहोस्

$$6a-18=0$$

समीकरणको दुबैतिर 18 जोड्नुहोस्।

$$6a=18$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=3$$

-4a+b+24=0 मा a लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले b लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-4\times 3+b+24=0$$

-4 लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-12+b+24=0$$

24 मा -12 जोड्नुहोस्

$$b+12=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 12 घटाउनुहोस्।

$$b=-12$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=3,b=-12$$