समाधान {l}{50x+y=200}{60x+y=260}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 50 x + y = 200 } \\ { 60 x + y = 260 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=6$$

$$y=-100$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$50x+y=200,60x+y=260$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$50x+y=200$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$50x=-y+200$$

दुबैतिर 50 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{50}\left(-y+200\right)$$

\frac{1}{50} लाई -y+200 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{50}y+4$$

-\frac{y}{50}+4 लाई x ले अर्को समीकरण 60x+y=260 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$60\left(-\frac{1}{50}y+4\right)+y=260$$

60 लाई -\frac{y}{50}+4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{6}{5}y+240+y=260$$

y मा -\frac{6y}{5} जोड्नुहोस्

$$-\frac{1}{5}y+240=260$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 240 घटाउनुहोस्।

$$-\frac{1}{5}y=20$$

दुबैतिर -5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$y=-100$$

x=-\frac{1}{50}y+4 मा y लाई -100 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{50}\left(-100\right)+4$$

-\frac{1}{50} लाई -100 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=2+4$$

2 मा 4 जोड्नुहोस्

$$x=6$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=6,y=-100$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$50x+y=200,60x+y=260$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्सको लागि \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), विपरित मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो जसले गर्दा मेट्रिक्स समीकरणलाई लाई मेट्रिक्सको गुणन समस्याको रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{50-60}&-\frac{1}{50-60}\\-\frac{60}{50-60}&\frac{50}{50-60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 200+\frac{1}{10}\times 260\\6\times 200-5\times 260\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-100\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=6,y=-100$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$50x+y=200,60x+y=260$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 50x+y=200 बाट 60x+y=260 घटाउनुहोस्।

$$50x-60x+y-y=200-260$$

-y मा y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै y र -y राशी रद्द हुन्छन्।

$$50x-60x=200-260$$

-60x मा 50x जोड्नुहोस्

$$-10x=200-260$$

-260 मा 200 जोड्नुहोस्

$$-10x=-60$$

दुबैतिर -10 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=6$$

60x+y=260 मा x लाई 6 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$60\times 6+y=260$$

60 लाई 6 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$360+y=260$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 360 घटाउनुहोस्।

$$y=-100$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=6,y=-100$$