समाधान {l}{5y-4z=-1}{-7y+7z=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 y - 4 z = - 1 } \\ { - 7 y + 7 z = 9 } \end{array} \right.$$

y, z को लागि हल गर्नुहोस्

$$y = \frac{29}{7} = 4\frac{1}{7} \approx 4.142857143$$

$$z = \frac{38}{7} = 5\frac{3}{7} \approx 5.428571429$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5y-4z=-1$$

समीकरणको दुबैतिर 4z जोड्नुहोस्।

$$5y=4z-1$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{5}\left(4z-1\right)$$

\frac{1}{5} लाई 4z-1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{4}{5}z-\frac{1}{5}$$

\frac{4z-1}{5} लाई y ले अर्को समीकरण -7y+7z=9 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-7\left(\frac{4}{5}z-\frac{1}{5}\right)+7z=9$$

-7 लाई \frac{4z-1}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{28}{5}z+\frac{7}{5}+7z=9$$

7z मा -\frac{28z}{5} जोड्नुहोस्

$$\frac{7}{5}z+\frac{7}{5}=9$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{7}{5} घटाउनुहोस्।

$$\frac{7}{5}z=\frac{38}{5}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{7}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$z=\frac{38}{7}$$

y=\frac{4}{5}z-\frac{1}{5} मा z लाई \frac{38}{7} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=\frac{4}{5}\times \frac{38}{7}-\frac{1}{5}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{4}{5} लाई \frac{38}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$y=\frac{152}{35}-\frac{1}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{1}{5} लाई \frac{152}{35} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$y=\frac{29}{7}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{7}\\1&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1+\frac{4}{7}\times 9\\-1+\frac{5}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{7}\\\frac{38}{7}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र z लाई ता्नुहोस्।

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

5y र -7y लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -7 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-7\times 5y-7\left(-4\right)z=-7\left(-1\right),5\left(-7\right)y+5\times 7z=5\times 9$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-35y+28z=7,-35y+35z=45$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -35y+28z=7 बाट -35y+35z=45 घटाउनुहोस्।

$$-35y+35y+28z-35z=7-45$$

35y मा -35y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -35y र 35y राशी रद्द हुन्छन्।

$$28z-35z=7-45$$

-35z मा 28z जोड्नुहोस्

$$-7z=7-45$$

-45 मा 7 जोड्नुहोस्

$$-7z=-38$$

दुबैतिर -7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$z=\frac{38}{7}$$

-7y+7z=9 मा z लाई \frac{38}{7} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-7y+7\times \frac{38}{7}=9$$

7 लाई \frac{38}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-7y+38=9$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 38 घटाउनुहोस्।

$$-7y=-29$$

दुबैतिर -7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{29}{7}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$