समाधान {l}{5x-8y=4}{-3x+y=-0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 8 y = 4 } \\ { - 3 x + y = - 0 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{4}{19}\approx -0.210526316$$

$$y=-\frac{12}{19}\approx -0.631578947$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5x-8y=4,-3x+y=0$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5x-8y=4$$

समीकरणको दुबैतिर 8y जोड्नुहोस्।

$$5x=8y+4$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{5}\left(8y+4\right)$$

\frac{1}{5} लाई 8y+4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{8}{5}y+\frac{4}{5}$$

\frac{8y+4}{5} लाई x ले अर्को समीकरण -3x+y=0 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-3\left(\frac{8}{5}y+\frac{4}{5}\right)+y=0$$

-3 लाई \frac{8y+4}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{24}{5}y-\frac{12}{5}+y=0$$

y मा -\frac{24y}{5} जोड्नुहोस्

$$-\frac{19}{5}y-\frac{12}{5}=0$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{12}{5} जोड्नुहोस्।

$$-\frac{19}{5}y=\frac{12}{5}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{19}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{12}{19}$$

x=\frac{8}{5}y+\frac{4}{5} मा y लाई -\frac{12}{19} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{8}{5}\left(-\frac{12}{19}\right)+\frac{4}{5}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{8}{5} लाई -\frac{12}{19} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{96}{95}+\frac{4}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{4}{5} लाई -\frac{96}{95} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{4}{19}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{4}{19},y=-\frac{12}{19}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x-8y=4,-3x+y=0$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&-8\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&-8\\-3&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-8\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-8\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-8\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-8\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-8\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-8\left(-3\right)\right)}&-\frac{-8}{5-\left(-8\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5-\left(-8\left(-3\right)\right)}&\frac{5}{5-\left(-8\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}&-\frac{8}{19}\\-\frac{3}{19}&-\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}\times 4\\-\frac{3}{19}\times 4\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}\\-\frac{12}{19}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{4}{19},y=-\frac{12}{19}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5x-8y=4,-3x+y=0$$

5x र -3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-3\times 5x-3\left(-8\right)y=-3\times 4,5\left(-3\right)x+5y=0$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-15x+24y=-12,-15x+5y=0$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -15x+24y=-12 बाट -15x+5y=0 घटाउनुहोस्।

$$-15x+15x+24y-5y=-12$$

15x मा -15x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -15x र 15x राशी रद्द हुन्छन्।

$$24y-5y=-12$$

-5y मा 24y जोड्नुहोस्

$$19y=-12$$

दुबैतिर 19 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{12}{19}$$

-3x+y=0 मा y लाई -\frac{12}{19} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-3x-\frac{12}{19}=0$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{12}{19} जोड्नुहोस्।

$$-3x=\frac{12}{19}$$

दुबैतिर -3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{4}{19}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{4}{19},y=-\frac{12}{19}$$