समाधान {l}{5x-4y=19y}{5x+2y=71}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 19 y } \\ { 5 x + 2 y = 71 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{1633}{125} = 13\frac{8}{125} = 13.064$$

$$y = \frac{71}{25} = 2\frac{21}{25} = 2.84$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 19y घटाउनुहोस्।

$$5x-4y-19y=0$$

-23y प्राप्त गर्नको लागि -4y र -19y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$5x-23y=0$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5x-23y=0$$

समीकरणको दुबैतिर 23y जोड्नुहोस्।

$$5x=23y$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{5}\times 23y$$

\frac{1}{5} लाई 23y पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{23}{5}y$$

\frac{23y}{5} लाई x ले अर्को समीकरण 5x+2y=71 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5\times \frac{23}{5}y+2y=71$$

5 लाई \frac{23y}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$23y+2y=71$$

2y मा 23y जोड्नुहोस्

$$25y=71$$

दुबैतिर 25 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{71}{25}$$

x=\frac{23}{5}y मा y लाई \frac{71}{25} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{23}{5}\times \frac{71}{25}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{23}{5} लाई \frac{71}{25} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{1633}{125}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 19y घटाउनुहोस्।

$$5x-4y-19y=0$$

-23y प्राप्त गर्नको लागि -4y र -19y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$5x-23y=0$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}&-\frac{-23}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}\\-\frac{5}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{125}&\frac{23}{125}\\-\frac{1}{25}&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{125}\times 71\\\frac{1}{25}\times 71\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1633}{125}\\\frac{71}{25}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 19y घटाउनुहोस्।

$$5x-4y-19y=0$$

-23y प्राप्त गर्नको लागि -4y र -19y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$5x-23y=0$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 5x-23y=0 बाट 5x+2y=71 घटाउनुहोस्।

$$5x-5x-23y-2y=-71$$

-5x मा 5x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 5x र -5x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-23y-2y=-71$$

-2y मा -23y जोड्नुहोस्

$$-25y=-71$$

दुबैतिर -25 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{71}{25}$$

5x+2y=71 मा y लाई \frac{71}{25} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$5x+2\times \frac{71}{25}=71$$

2 लाई \frac{71}{25} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$5x+\frac{142}{25}=71$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{142}{25} घटाउनुहोस्।

$$5x=\frac{1633}{25}$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1633}{125}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$