समाधान {l}{5x-4y=11}{3x+2y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 11 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{25}{11} = 2\frac{3}{11} \approx 2.272727273$$

$$y=\frac{1}{11}\approx 0.090909091$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5x-4y=11$$

समीकरणको दुबैतिर 4y जोड्नुहोस्।

$$5x=4y+11$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{5}\left(4y+11\right)$$

\frac{1}{5} लाई 4y+11 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}$$

\frac{4y+11}{5} लाई x ले अर्को समीकरण 3x+2y=7 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}\right)+2y=7$$

3 लाई \frac{4y+11}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{12}{5}y+\frac{33}{5}+2y=7$$

2y मा \frac{12y}{5} जोड्नुहोस्

$$\frac{22}{5}y+\frac{33}{5}=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{33}{5} घटाउनुहोस्।

$$\frac{22}{5}y=\frac{2}{5}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{22}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{1}{11}$$

x=\frac{4}{5}y+\frac{11}{5} मा y लाई \frac{1}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{4}{5}\times \frac{1}{11}+\frac{11}{5}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{4}{5} लाई \frac{1}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{4}{55}+\frac{11}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{11}{5} लाई \frac{4}{55} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{25}{11}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 11+\frac{2}{11}\times 7\\-\frac{3}{22}\times 11+\frac{5}{22}\times 7\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{11}\\\frac{1}{11}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

5x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 11,5\times 3x+5\times 2y=5\times 7$$

सरल गर्नुहोस्।

$$15x-12y=33,15x+10y=35$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 15x-12y=33 बाट 15x+10y=35 घटाउनुहोस्।

$$15x-15x-12y-10y=33-35$$

-15x मा 15x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 15x र -15x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-12y-10y=33-35$$

-10y मा -12y जोड्नुहोस्

$$-22y=33-35$$

-35 मा 33 जोड्नुहोस्

$$-22y=-2$$

दुबैतिर -22 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{11}$$

3x+2y=7 मा y लाई \frac{1}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x+2\times \frac{1}{11}=7$$

2 लाई \frac{1}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3x+\frac{2}{11}=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{2}{11} घटाउनुहोस्।

$$3x=\frac{75}{11}$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{25}{11}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$