\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 11 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.
x, y को लागि हल गर्नुहोस्
x = \frac{25}{11} = 2\frac{3}{11} \approx 2.272727273
y=\frac{1}{11}\approx 0.090909091
ग्राफ
साझेदारी गर्नुहोस्
क्लिपबोर्डमा प्रतिलिपि गरियो
5x-4y=11,3x+2y=7
प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।
5x-4y=11
समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।
5x=4y+11
समीकरणको दुबैतिर 4y जोड्नुहोस्।
x=\frac{1}{5}\left(4y+11\right)
दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।
x=\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}
\frac{1}{5} लाई 4y+11 पटक गुणन गर्नुहोस्।
3\left(\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}\right)+2y=7
\frac{4y+11}{5} लाई x ले अर्को समीकरण 3x+2y=7 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।
\frac{12}{5}y+\frac{33}{5}+2y=7
3 लाई \frac{4y+11}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।
\frac{22}{5}y+\frac{33}{5}=7
2y मा \frac{12y}{5} जोड्नुहोस्
\frac{22}{5}y=\frac{2}{5}
समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{33}{5} घटाउनुहोस्।
y=\frac{1}{11}
समीकरणको दुबैतिर \frac{22}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।
x=\frac{4}{5}\times \frac{1}{11}+\frac{11}{5}
x=\frac{4}{5}y+\frac{11}{5} मा y लाई \frac{1}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।
x=\frac{4}{55}+\frac{11}{5}
अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{4}{5} लाई \frac{1}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।
x=\frac{25}{11}
साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{11}{5} लाई \frac{4}{55} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।
x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}
अब प्रणाली समाधान भएको छ।
5x-4y=11,3x+2y=7
समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)
समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।
inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)
समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)
म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)
बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)
2\times 2 मेट्रिक्सको लागि \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), विपरित मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो जसले गर्दा मेट्रिक्स समीकरणलाई लाई मेट्रिक्सको गुणन समस्याको रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)
हिसाब गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 11+\frac{2}{11}\times 7\\-\frac{3}{22}\times 11+\frac{5}{22}\times 7\end{matrix}\right)
मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{11}\\\frac{1}{11}\end{matrix}\right)
हिसाब गर्नुहोस्।
x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}
मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।
5x-4y=11,3x+2y=7
निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।
3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 11,5\times 3x+5\times 2y=5\times 7
5x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस्।
15x-12y=33,15x+10y=35
सरल गर्नुहोस्।
15x-15x-12y-10y=33-35
बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 15x-12y=33 बाट 15x+10y=35 घटाउनुहोस्।
-12y-10y=33-35
-15x मा 15x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 15x र -15x राशी रद्द हुन्छन्।
-22y=33-35
-10y मा -12y जोड्नुहोस्
-22y=-2
-35 मा 33 जोड्नुहोस्
y=\frac{1}{11}
दुबैतिर -22 ले भाग गर्नुहोस्।
3x+2\times \frac{1}{11}=7
3x+2y=7 मा y लाई \frac{1}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।
3x+\frac{2}{11}=7
2 लाई \frac{1}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्।
3x=\frac{75}{11}
समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{2}{11} घटाउनुहोस्।
x=\frac{25}{11}
दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।
x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}
अब प्रणाली समाधान भएको छ।
उदाहरणहरू[सम्पादन गर्ने]
द्विघात समीकरण
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
त्रिकोणमिति
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
रैखिक समीकरण
y = 3x + 4
अंकगणित
699 * 533
म्याट्रिक्स
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
समकालिक समीकरण
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
भिन्नता
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integration
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
सीमाहरू
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}