समाधान {l}{5x-2y=14}{3x+7y=21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 14 } \\ { 3 x + 7 y = 21 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{140}{41} = 3\frac{17}{41} \approx 3.414634146$$

$$y = \frac{63}{41} = 1\frac{22}{41} \approx 1.536585366$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5x-2y=14$$

समीकरणको दुबैतिर 2y जोड्नुहोस्।

$$5x=2y+14$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+14\right)$$

\frac{1}{5} लाई 14+2y पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}$$

\frac{14+2y}{5} लाई x ले अर्को समीकरण 3x+7y=21 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}\right)+7y=21$$

3 लाई \frac{14+2y}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{6}{5}y+\frac{42}{5}+7y=21$$

7y मा \frac{6y}{5} जोड्नुहोस्

$$\frac{41}{5}y+\frac{42}{5}=21$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{42}{5} घटाउनुहोस्।

$$\frac{41}{5}y=\frac{63}{5}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{41}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{63}{41}$$

x=\frac{2}{5}y+\frac{14}{5} मा y लाई \frac{63}{41} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{63}{41}+\frac{14}{5}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{2}{5} लाई \frac{63}{41} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{126}{205}+\frac{14}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{14}{5} लाई \frac{126}{205} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{140}{41}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{41}&\frac{2}{41}\\-\frac{3}{41}&\frac{5}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{41}\times 14+\frac{2}{41}\times 21\\-\frac{3}{41}\times 14+\frac{5}{41}\times 21\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{140}{41}\\\frac{63}{41}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

5x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3\times 14,5\times 3x+5\times 7y=5\times 21$$

सरल गर्नुहोस्।

$$15x-6y=42,15x+35y=105$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 15x-6y=42 बाट 15x+35y=105 घटाउनुहोस्।

$$15x-15x-6y-35y=42-105$$

-15x मा 15x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 15x र -15x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-6y-35y=42-105$$

-35y मा -6y जोड्नुहोस्

$$-41y=42-105$$

-105 मा 42 जोड्नुहोस्

$$-41y=-63$$

दुबैतिर -41 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{63}{41}$$

3x+7y=21 मा y लाई \frac{63}{41} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x+7\times \frac{63}{41}=21$$

7 लाई \frac{63}{41} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3x+\frac{441}{41}=21$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{441}{41} घटाउनुहोस्।

$$3x=\frac{420}{41}$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{140}{41}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$