समाधान {l}{5x+2y=-9}{3x-4y=-8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = - 9 } \\ { 3 x - 4 y = - 8 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-2$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5x+2y=-9,3x-4y=-8$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5x+2y=-9$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$5x=-2y-9$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y-9\right)$$

\frac{1}{5} लाई -2y-9 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{2}{5}y-\frac{9}{5}$$

\frac{-2y-9}{5} लाई x ले अर्को समीकरण 3x-4y=-8 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(-\frac{2}{5}y-\frac{9}{5}\right)-4y=-8$$

3 लाई \frac{-2y-9}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{6}{5}y-\frac{27}{5}-4y=-8$$

-4y मा -\frac{6y}{5} जोड्नुहोस्

$$-\frac{26}{5}y-\frac{27}{5}=-8$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{27}{5} जोड्नुहोस्।

$$-\frac{26}{5}y=-\frac{13}{5}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{26}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{1}{2}$$

x=-\frac{2}{5}y-\frac{9}{5} मा y लाई \frac{1}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{2}{5}\times \frac{1}{2}-\frac{9}{5}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{2}{5} लाई \frac{1}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{-1-9}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{9}{5} लाई -\frac{1}{5} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-2,y=\frac{1}{2}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5x+2y=-9,3x-4y=-8$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&2\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-8\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&2\\3&-4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-8\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-8\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-2\times 3}&-\frac{2}{5\left(-4\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{5\left(-4\right)-2\times 3}&\frac{5}{5\left(-4\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-8\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{3}{26}&-\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-8\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\left(-9\right)+\frac{1}{13}\left(-8\right)\\\frac{3}{26}\left(-9\right)-\frac{5}{26}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-2,y=\frac{1}{2}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5x+2y=-9,3x-4y=-8$$

5x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 5x+3\times 2y=3\left(-9\right),5\times 3x+5\left(-4\right)y=5\left(-8\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$15x+6y=-27,15x-20y=-40$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 15x+6y=-27 बाट 15x-20y=-40 घटाउनुहोस्।

$$15x-15x+6y+20y=-27+40$$

-15x मा 15x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 15x र -15x राशी रद्द हुन्छन्।

$$6y+20y=-27+40$$

20y मा 6y जोड्नुहोस्

$$26y=-27+40$$

40 मा -27 जोड्नुहोस्

$$26y=13$$

दुबैतिर 26 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{2}$$

3x-4y=-8 मा y लाई \frac{1}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x-4\times \frac{1}{2}=-8$$

-4 लाई \frac{1}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3x-2=-8$$

समीकरणको दुबैतिर 2 जोड्नुहोस्।

$$3x=-6$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-2,y=\frac{1}{2}$$