समाधान {l}{5=3k+b}{-9=-4k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 = 3 k + b } \\ { - 9 = - 4 k + b } \end{array} \right.$$

k, b को लागि हल गर्नुहोस्

$$k=2$$

$$b=-1$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$3k+b=5$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$-4k+b=-9$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3k+b=5,-4k+b=-9$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको k लाई अलग गरी k का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3k+b=5$$

समीकरणको दुबैतिरबाट b घटाउनुहोस्।

$$3k=-b+5$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$k=\frac{1}{3}\left(-b+5\right)$$

\frac{1}{3} लाई -b+5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$k=-\frac{1}{3}b+\frac{5}{3}$$

\frac{-b+5}{3} लाई k ले अर्को समीकरण -4k+b=-9 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-4\left(-\frac{1}{3}b+\frac{5}{3}\right)+b=-9$$

-4 लाई \frac{-b+5}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{4}{3}b-\frac{20}{3}+b=-9$$

b मा \frac{4b}{3} जोड्नुहोस्

$$\frac{7}{3}b-\frac{20}{3}=-9$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{20}{3} जोड्नुहोस्।

$$\frac{7}{3}b=-\frac{7}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{7}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$b=-1$$

k=-\frac{1}{3}b+\frac{5}{3} मा b लाई -1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले k लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$k=-\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{5}{3}$$

-\frac{1}{3} लाई -1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$k=\frac{1+5}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{5}{3} लाई \frac{1}{3} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$k=2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$k=2,b=-1$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$3k+b=5$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$-4k+b=-9$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3k+b=5,-4k+b=-9$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-4\right)}&-\frac{1}{3-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3-\left(-4\right)}&\frac{3}{3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 5-\frac{1}{7}\left(-9\right)\\\frac{4}{7}\times 5+\frac{3}{7}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू k र b लाई ता्नुहोस्।

$$k=2,b=-1$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$3k+b=5$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$-4k+b=-9$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3k+b=5,-4k+b=-9$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 3k+b=5 बाट -4k+b=-9 घटाउनुहोस्।

$$3k+4k+b-b=5+9$$

-b मा b जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै b र -b राशी रद्द हुन्छन्।

$$3k+4k=5+9$$

4k मा 3k जोड्नुहोस्

$$7k=5+9$$

9 मा 5 जोड्नुहोस्

$$7k=14$$

दुबैतिर 7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$k=2$$

-4k+b=-9 मा k लाई 2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले b लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-4\times 2+b=-9$$

-4 लाई 2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-8+b=-9$$

समीकरणको दुबैतिर 8 जोड्नुहोस्।

$$b=-1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$k=2,b=-1$$