समाधान {l}{4x-y=10}{3x+2y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - y = 10 } \\ { 3 x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{28}{11} = 2\frac{6}{11} \approx 2.545454545$$

$$y=\frac{2}{11}\approx 0.181818182$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4x-y=10,3x+2y=8$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$4x-y=10$$

समीकरणको दुबैतिर y जोड्नुहोस्।

$$4x=y+10$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{4}\left(y+10\right)$$

\frac{1}{4} लाई y+10 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}$$

\frac{y}{4}+\frac{5}{2} लाई x ले अर्को समीकरण 3x+2y=8 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}\right)+2y=8$$

3 लाई \frac{y}{4}+\frac{5}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{3}{4}y+\frac{15}{2}+2y=8$$

2y मा \frac{3y}{4} जोड्नुहोस्

$$\frac{11}{4}y+\frac{15}{2}=8$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{15}{2} घटाउनुहोस्।

$$\frac{11}{4}y=\frac{1}{2}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{11}{4} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{2}{11}$$

x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{2} मा y लाई \frac{2}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{1}{4}\times \frac{2}{11}+\frac{5}{2}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{1}{4} लाई \frac{2}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{22}+\frac{5}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{5}{2} लाई \frac{1}{22} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{28}{11}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{28}{11},y=\frac{2}{11}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x-y=10,3x+2y=8$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4\times 2-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 10+\frac{1}{11}\times 8\\-\frac{3}{11}\times 10+\frac{4}{11}\times 8\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{28}{11}\\\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{28}{11},y=\frac{2}{11}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$4x-y=10,3x+2y=8$$

4x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 4x+3\left(-1\right)y=3\times 10,4\times 3x+4\times 2y=4\times 8$$

सरल गर्नुहोस्।

$$12x-3y=30,12x+8y=32$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 12x-3y=30 बाट 12x+8y=32 घटाउनुहोस्।

$$12x-12x-3y-8y=30-32$$

-12x मा 12x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 12x र -12x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-3y-8y=30-32$$

-8y मा -3y जोड्नुहोस्

$$-11y=30-32$$

-32 मा 30 जोड्नुहोस्

$$-11y=-2$$

दुबैतिर -11 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{2}{11}$$

3x+2y=8 मा y लाई \frac{2}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x+2\times \frac{2}{11}=8$$

2 लाई \frac{2}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3x+\frac{4}{11}=8$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{4}{11} घटाउनुहोस्।

$$3x=\frac{84}{11}$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{28}{11}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{28}{11},y=\frac{2}{11}$$