समाधान {l}{4x-ay=18}{bx+2y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - a y = 18 } \\ { b x + 2 y = - 7 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{36-7a}{ab+8}\text{, }y=-\frac{2\left(9b+14\right)}{ab+8}\text{, }&b=0\text{ or }a\neq -\frac{8}{b}\\x=\frac{9\left(2y+7\right)}{14}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=\frac{36}{7}\text{ and }b=-\frac{14}{9}\end{matrix}\right.$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4x+\left(-a\right)y=18,bx+2y=-7$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$4x+\left(-a\right)y=18$$

समीकरणको दुबैतिर ay जोड्नुहोस्।

$$4x=ay+18$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{4}\left(ay+18\right)$$

\frac{1}{4} लाई ay+18 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{a}{4}y+\frac{9}{2}$$

\frac{ay}{4}+\frac{9}{2} लाई x ले अर्को समीकरण bx+2y=-7 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$b\left(\frac{a}{4}y+\frac{9}{2}\right)+2y=-7$$

b लाई \frac{ay}{4}+\frac{9}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{ab}{4}y+\frac{9b}{2}+2y=-7$$

2y मा \frac{bay}{4} जोड्नुहोस्

$$\left(\frac{ab}{4}+2\right)y+\frac{9b}{2}=-7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{9b}{2} घटाउनुहोस्।

$$\left(\frac{ab}{4}+2\right)y=-\frac{9b}{2}-7$$

दुबैतिर \frac{ba}{4}+2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{2\left(9b+14\right)}{ab+8}$$

x=\frac{a}{4}y+\frac{9}{2} मा y लाई -\frac{2\left(14+9b\right)}{ba+8} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{a}{4}\left(-\frac{2\left(9b+14\right)}{ab+8}\right)+\frac{9}{2}$$

\frac{a}{4} लाई -\frac{2\left(14+9b\right)}{ba+8} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{a\left(9b+14\right)}{2\left(ab+8\right)}+\frac{9}{2}$$

-\frac{a\left(14+9b\right)}{2\left(ba+8\right)} मा \frac{9}{2} जोड्नुहोस्

$$x=\frac{36-7a}{ab+8}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{36-7a}{ab+8},y=-\frac{2\left(9b+14\right)}{ab+8}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x+\left(-a\right)y=18,bx+2y=-7$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}4&-a\\b&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}4&-a\\b&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\b&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-a\\b&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\b&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\b&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\b&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-a\right)b}&-\frac{-a}{4\times 2-\left(-a\right)b}\\-\frac{b}{4\times 2-\left(-a\right)b}&\frac{4}{4\times 2-\left(-a\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{ab+8}&\frac{a}{ab+8}\\-\frac{b}{ab+8}&\frac{4}{ab+8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{ab+8}\times 18+\frac{a}{ab+8}\left(-7\right)\\\left(-\frac{b}{ab+8}\right)\times 18+\frac{4}{ab+8}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{36-7a}{ab+8}\\-\frac{2\left(9b+14\right)}{ab+8}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{36-7a}{ab+8},y=-\frac{2\left(9b+14\right)}{ab+8}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$4x+\left(-a\right)y=18,bx+2y=-7$$

4x र bx लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई b ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$b\times 4x+b\left(-a\right)y=b\times 18,4bx+4\times 2y=4\left(-7\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$4bx+\left(-ab\right)y=18b,4bx+8y=-28$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 4bx+\left(-ab\right)y=18b बाट 4bx+8y=-28 घटाउनुहोस्।

$$4bx+\left(-4b\right)x+\left(-ab\right)y-8y=18b+28$$

-4bx मा 4bx जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 4bx र -4bx राशी रद्द हुन्छन्।

$$\left(-ab\right)y-8y=18b+28$$

-8y मा -bay जोड्नुहोस्

$$\left(-ab-8\right)y=18b+28$$

दुबैतिर -ba-8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{2\left(9b+14\right)}{ab+8}$$

bx+2y=-7 मा y लाई -\frac{2\left(9b+14\right)}{ba+8} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$bx+2\left(-\frac{2\left(9b+14\right)}{ab+8}\right)=-7$$

2 लाई -\frac{2\left(9b+14\right)}{ba+8} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$bx-\frac{4\left(9b+14\right)}{ab+8}=-7$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{4\left(9b+14\right)}{ba+8} जोड्नुहोस्।

$$bx=\frac{b\left(36-7a\right)}{ab+8}$$

दुबैतिर b ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{36-7a}{ab+8}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{36-7a}{ab+8},y=-\frac{2\left(9b+14\right)}{ab+8}$$