समाधान {l}{4x-5y=9}{7x-4y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 5 y = 9 } \\ { 7 x - 4 y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{39}{19} = 2\frac{1}{19} \approx 2.052631579$$

$$y=-\frac{3}{19}\approx -0.157894737$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$4x-5y=9$$

समीकरणको दुबैतिर 5y जोड्नुहोस्।

$$4x=5y+9$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+9\right)$$

\frac{1}{4} लाई 5y+9 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{4}$$

\frac{5y+9}{4} लाई x ले अर्को समीकरण 7x-4y=15 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$7\left(\frac{5}{4}y+\frac{9}{4}\right)-4y=15$$

7 लाई \frac{5y+9}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{35}{4}y+\frac{63}{4}-4y=15$$

-4y मा \frac{35y}{4} जोड्नुहोस्

$$\frac{19}{4}y+\frac{63}{4}=15$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{63}{4} घटाउनुहोस्।

$$\frac{19}{4}y=-\frac{3}{4}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{19}{4} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{3}{19}$$

x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{4} मा y लाई -\frac{3}{19} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{5}{4}\left(-\frac{3}{19}\right)+\frac{9}{4}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{5}{4} लाई -\frac{3}{19} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{15}{76}+\frac{9}{4}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{9}{4} लाई -\frac{15}{76} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{39}{19}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{7}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}\times 9+\frac{5}{19}\times 15\\-\frac{7}{19}\times 9+\frac{4}{19}\times 15\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{39}{19}\\-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

4x र 7x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 7 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\times 9,4\times 7x+4\left(-4\right)y=4\times 15$$

सरल गर्नुहोस्।

$$28x-35y=63,28x-16y=60$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 28x-35y=63 बाट 28x-16y=60 घटाउनुहोस्।

$$28x-28x-35y+16y=63-60$$

-28x मा 28x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 28x र -28x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-35y+16y=63-60$$

16y मा -35y जोड्नुहोस्

$$-19y=63-60$$

-60 मा 63 जोड्नुहोस्

$$-19y=3$$

दुबैतिर -19 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{3}{19}$$

7x-4y=15 मा y लाई -\frac{3}{19} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$7x-4\left(-\frac{3}{19}\right)=15$$

-4 लाई -\frac{3}{19} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$7x+\frac{12}{19}=15$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{12}{19} घटाउनुहोस्।

$$7x=\frac{273}{19}$$

दुबैतिर 7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{39}{19}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$