समाधान {l}{4x-5y=7}{2x+3y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 5 y = 7 } \\ { 2 x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{13}{11} = 1\frac{2}{11} \approx 1.181818182$$

$$y=-\frac{5}{11}\approx -0.454545455$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$4x-5y=7$$

समीकरणको दुबैतिर 5y जोड्नुहोस्।

$$4x=5y+7$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+7\right)$$

\frac{1}{4} लाई 5y+7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}$$

\frac{5y+7}{4} लाई x ले अर्को समीकरण 2x+3y=1 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}\right)+3y=1$$

2 लाई \frac{5y+7}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}+3y=1$$

3y मा \frac{5y}{2} जोड्नुहोस्

$$\frac{11}{2}y+\frac{7}{2}=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{7}{2} घटाउनुहोस्।

$$\frac{11}{2}y=-\frac{5}{2}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{11}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{5}{11}$$

x=\frac{5}{4}y+\frac{7}{4} मा y लाई -\frac{5}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{5}{4}\left(-\frac{5}{11}\right)+\frac{7}{4}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{5}{4} लाई -\frac{5}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{25}{44}+\frac{7}{4}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{7}{4} लाई -\frac{25}{44} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{13}{11}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 7+\frac{5}{22}\\-\frac{1}{11}\times 7+\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{11}\\-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

4x र 2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\times 4x+2\left(-5\right)y=2\times 7,4\times 2x+4\times 3y=4$$

सरल गर्नुहोस्।

$$8x-10y=14,8x+12y=4$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 8x-10y=14 बाट 8x+12y=4 घटाउनुहोस्।

$$8x-8x-10y-12y=14-4$$

-8x मा 8x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 8x र -8x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-10y-12y=14-4$$

-12y मा -10y जोड्नुहोस्

$$-22y=14-4$$

-4 मा 14 जोड्नुहोस्

$$-22y=10$$

दुबैतिर -22 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{5}{11}$$

2x+3y=1 मा y लाई -\frac{5}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2x+3\left(-\frac{5}{11}\right)=1$$

3 लाई -\frac{5}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$2x-\frac{15}{11}=1$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{15}{11} जोड्नुहोस्।

$$2x=\frac{26}{11}$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{13}{11}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$