समाधान {l}{4x+3y+14=0}{2x+5y+16=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y + 14 = 0 } \\ { 2 x + 5 y + 16 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{11}{7} = -1\frac{4}{7} \approx -1.571428571$$

$$y = -\frac{18}{7} = -2\frac{4}{7} \approx -2.571428571$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$4x+3y+14=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 14 घटाउनुहोस्।

$$4x+3y=-14$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$4x=-3y-14$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y-14\right)$$

\frac{1}{4} लाई -3y-14 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}$$

-\frac{3y}{4}-\frac{7}{2} लाई x ले अर्को समीकरण 2x+5y+16=0 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}\right)+5y+16=0$$

2 लाई -\frac{3y}{4}-\frac{7}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{3}{2}y-7+5y+16=0$$

5y मा -\frac{3y}{2} जोड्नुहोस्

$$\frac{7}{2}y-7+16=0$$

16 मा -7 जोड्नुहोस्

$$\frac{7}{2}y+9=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 9 घटाउनुहोस्।

$$\frac{7}{2}y=-9$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{7}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{18}{7}$$

x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2} मा y लाई -\frac{18}{7} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{3}{4}\left(-\frac{18}{7}\right)-\frac{7}{2}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{3}{4} लाई -\frac{18}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{27}{14}-\frac{7}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{7}{2} लाई \frac{27}{14} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{11}{7}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{4\times 5-3\times 2}&\frac{4}{4\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}&-\frac{3}{14}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}\left(-14\right)-\frac{3}{14}\left(-16\right)\\-\frac{1}{7}\left(-14\right)+\frac{2}{7}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{7}\\-\frac{18}{7}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

4x र 2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\times 4x+2\times 3y+2\times 14=0,4\times 2x+4\times 5y+4\times 16=0$$

सरल गर्नुहोस्।

$$8x+6y+28=0,8x+20y+64=0$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 8x+6y+28=0 बाट 8x+20y+64=0 घटाउनुहोस्।

$$8x-8x+6y-20y+28-64=0$$

-8x मा 8x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 8x र -8x राशी रद्द हुन्छन्।

$$6y-20y+28-64=0$$

-20y मा 6y जोड्नुहोस्

$$-14y+28-64=0$$

-64 मा 28 जोड्नुहोस्

$$-14y-36=0$$

समीकरणको दुबैतिर 36 जोड्नुहोस्।

$$-14y=36$$

दुबैतिर -14 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{18}{7}$$

2x+5y+16=0 मा y लाई -\frac{18}{7} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2x+5\left(-\frac{18}{7}\right)+16=0$$

5 लाई -\frac{18}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$2x-\frac{90}{7}+16=0$$

16 मा -\frac{90}{7} जोड्नुहोस्

$$2x+\frac{22}{7}=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{22}{7} घटाउनुहोस्।

$$2x=-\frac{22}{7}$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{11}{7}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$