समाधान {l}{3y-7x=-9}{5x+2y=23}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 y - 7 x = - 9 } \\ { 5 x + 2 y = 23 } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=3$$

$$y=4$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3y-7x=-9$$

समीकरणको दुबैतिर 7x जोड्नुहोस्।

$$3y=7x-9$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{3}\left(7x-9\right)$$

\frac{1}{3} लाई 7x-9 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{7}{3}x-3$$

\frac{7x}{3}-3 लाई y ले अर्को समीकरण 2y+5x=23 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(\frac{7}{3}x-3\right)+5x=23$$

2 लाई \frac{7x}{3}-3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{14}{3}x-6+5x=23$$

5x मा \frac{14x}{3} जोड्नुहोस्

$$\frac{29}{3}x-6=23$$

समीकरणको दुबैतिर 6 जोड्नुहोस्।

$$\frac{29}{3}x=29$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{29}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=3$$

y=\frac{7}{3}x-3 मा x लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=\frac{7}{3}\times 3-3$$

\frac{7}{3} लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=7-3$$

7 मा -3 जोड्नुहोस्

$$y=4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=4,x=3$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}&\frac{7}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{3}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}\left(-9\right)+\frac{7}{29}\times 23\\-\frac{2}{29}\left(-9\right)+\frac{3}{29}\times 23\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=4,x=3$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

3y र 2y लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\times 3y+2\left(-7\right)x=2\left(-9\right),3\times 2y+3\times 5x=3\times 23$$

सरल गर्नुहोस्।

$$6y-14x=-18,6y+15x=69$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 6y-14x=-18 बाट 6y+15x=69 घटाउनुहोस्।

$$6y-6y-14x-15x=-18-69$$

-6y मा 6y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 6y र -6y राशी रद्द हुन्छन्।

$$-14x-15x=-18-69$$

-15x मा -14x जोड्नुहोस्

$$-29x=-18-69$$

-69 मा -18 जोड्नुहोस्

$$-29x=-87$$

दुबैतिर -29 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=3$$

2y+5x=23 मा x लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2y+5\times 3=23$$

5 लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$2y+15=23$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 15 घटाउनुहोस्।

$$2y=8$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=4,x=3$$