समाधान {l}{3y=4x+8}{2y-8x=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 y = 4 x + 8 } \\ { 2 y - 8 x = 7 } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{5}{16}=-0.3125$$

$$y = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 4x घटाउनुहोस्।

$$3y-4x=8$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3y-4x=8$$

समीकरणको दुबैतिर 4x जोड्नुहोस्।

$$3y=4x+8$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{3}\left(4x+8\right)$$

\frac{1}{3} लाई 8+4x पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}$$

\frac{8+4x}{3} लाई y ले अर्को समीकरण 2y-8x=7 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}\right)-8x=7$$

2 लाई \frac{8+4x}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{8}{3}x+\frac{16}{3}-8x=7$$

-8x मा \frac{8x}{3} जोड्नुहोस्

$$-\frac{16}{3}x+\frac{16}{3}=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{16}{3} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{16}{3}x=\frac{5}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{16}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=-\frac{5}{16}$$

y=\frac{4}{3}x+\frac{8}{3} मा x लाई -\frac{5}{16} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=\frac{4}{3}\left(-\frac{5}{16}\right)+\frac{8}{3}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{4}{3} लाई -\frac{5}{16} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$y=-\frac{5}{12}+\frac{8}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{8}{3} लाई -\frac{5}{12} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$y=\frac{9}{4}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 4x घटाउनुहोस्।

$$3y-4x=8$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 8-\frac{1}{4}\times 7\\\frac{1}{8}\times 8-\frac{3}{16}\times 7\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\\-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 4x घटाउनुहोस्।

$$3y-4x=8$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

3y र 2y लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\times 3y+2\left(-4\right)x=2\times 8,3\times 2y+3\left(-8\right)x=3\times 7$$

सरल गर्नुहोस्।

$$6y-8x=16,6y-24x=21$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 6y-8x=16 बाट 6y-24x=21 घटाउनुहोस्।

$$6y-6y-8x+24x=16-21$$

-6y मा 6y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 6y र -6y राशी रद्द हुन्छन्।

$$-8x+24x=16-21$$

24x मा -8x जोड्नुहोस्

$$16x=16-21$$

-21 मा 16 जोड्नुहोस्

$$16x=-5$$

दुबैतिर 16 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{5}{16}$$

2y-8x=7 मा x लाई -\frac{5}{16} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2y-8\left(-\frac{5}{16}\right)=7$$

-8 लाई -\frac{5}{16} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$2y+\frac{5}{2}=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{5}{2} घटाउनुहोस्।

$$2y=\frac{9}{2}$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{9}{4}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$