समाधान {l}{3x-8y=9}{4x+3y=-10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 8 y = 9 } \\ { 4 x + 3 y = - 10 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{53}{41} = -1\frac{12}{41} \approx -1.292682927$$

$$y = -\frac{66}{41} = -1\frac{25}{41} \approx -1.609756098$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3x-8y=9,4x+3y=-10$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3x-8y=9$$

समीकरणको दुबैतिर 8y जोड्नुहोस्।

$$3x=8y+9$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}\left(8y+9\right)$$

\frac{1}{3} लाई 8y+9 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{8}{3}y+3$$

\frac{8y}{3}+3 लाई x ले अर्को समीकरण 4x+3y=-10 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4\left(\frac{8}{3}y+3\right)+3y=-10$$

4 लाई \frac{8y}{3}+3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{32}{3}y+12+3y=-10$$

3y मा \frac{32y}{3} जोड्नुहोस्

$$\frac{41}{3}y+12=-10$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 12 घटाउनुहोस्।

$$\frac{41}{3}y=-22$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{41}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{66}{41}$$

x=\frac{8}{3}y+3 मा y लाई -\frac{66}{41} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{8}{3}\left(-\frac{66}{41}\right)+3$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{8}{3} लाई -\frac{66}{41} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{176}{41}+3$$

-\frac{176}{41} मा 3 जोड्नुहोस्

$$x=-\frac{53}{41}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{53}{41},y=-\frac{66}{41}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x-8y=9,4x+3y=-10$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}&-\frac{-8}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}&\frac{8}{41}\\-\frac{4}{41}&\frac{3}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}\times 9+\frac{8}{41}\left(-10\right)\\-\frac{4}{41}\times 9+\frac{3}{41}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{53}{41}\\-\frac{66}{41}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{53}{41},y=-\frac{66}{41}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3x-8y=9,4x+3y=-10$$

3x र 4x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4\times 3x+4\left(-8\right)y=4\times 9,3\times 4x+3\times 3y=3\left(-10\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$12x-32y=36,12x+9y=-30$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 12x-32y=36 बाट 12x+9y=-30 घटाउनुहोस्।

$$12x-12x-32y-9y=36+30$$

-12x मा 12x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 12x र -12x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-32y-9y=36+30$$

-9y मा -32y जोड्नुहोस्

$$-41y=36+30$$

30 मा 36 जोड्नुहोस्

$$-41y=66$$

दुबैतिर -41 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{66}{41}$$

4x+3y=-10 मा y लाई -\frac{66}{41} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$4x+3\left(-\frac{66}{41}\right)=-10$$

3 लाई -\frac{66}{41} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$4x-\frac{198}{41}=-10$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{198}{41} जोड्नुहोस्।

$$4x=-\frac{212}{41}$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{53}{41}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{53}{41},y=-\frac{66}{41}$$