समाधान {l}{3x-7y=24}{6x+3y=99}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 7 y = 24 } \\ { 6 x + 3 y = 99 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=15$$

$$y=3$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3x-7y=24,6x+3y=99$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3x-7y=24$$

समीकरणको दुबैतिर 7y जोड्नुहोस्।

$$3x=7y+24$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}\left(7y+24\right)$$

\frac{1}{3} लाई 7y+24 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{7}{3}y+8$$

\frac{7y}{3}+8 लाई x ले अर्को समीकरण 6x+3y=99 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$6\left(\frac{7}{3}y+8\right)+3y=99$$

6 लाई \frac{7y}{3}+8 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$14y+48+3y=99$$

3y मा 14y जोड्नुहोस्

$$17y+48=99$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 48 घटाउनुहोस्।

$$17y=51$$

दुबैतिर 17 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=3$$

x=\frac{7}{3}y+8 मा y लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{7}{3}\times 3+8$$

\frac{7}{3} लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=7+8$$

7 मा 8 जोड्नुहोस्

$$x=15$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=15,y=3$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x-7y=24,6x+3y=99$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-7\times 6\right)}&-\frac{-7}{3\times 3-\left(-7\times 6\right)}\\-\frac{6}{3\times 3-\left(-7\times 6\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-7\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{7}{51}\\-\frac{2}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 24+\frac{7}{51}\times 99\\-\frac{2}{17}\times 24+\frac{1}{17}\times 99\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=15,y=3$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3x-7y=24,6x+3y=99$$

3x र 6x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 6 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$6\times 3x+6\left(-7\right)y=6\times 24,3\times 6x+3\times 3y=3\times 99$$

सरल गर्नुहोस्।

$$18x-42y=144,18x+9y=297$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 18x-42y=144 बाट 18x+9y=297 घटाउनुहोस्।

$$18x-18x-42y-9y=144-297$$

-18x मा 18x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 18x र -18x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-42y-9y=144-297$$

-9y मा -42y जोड्नुहोस्

$$-51y=144-297$$

-297 मा 144 जोड्नुहोस्

$$-51y=-153$$

दुबैतिर -51 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=3$$

6x+3y=99 मा y लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$6x+3\times 3=99$$

3 लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$6x+9=99$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 9 घटाउनुहोस्।

$$6x=90$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=15$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=15,y=3$$