समाधान {l}{3x+y=11}{-4x-y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 11 } \\ { - 4 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-22$$

$$y=77$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3x+y=11$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$3x=-y+11$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+11\right)$$

\frac{1}{3} लाई -y+11 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}$$

\frac{-y+11}{3} लाई x ले अर्को समीकरण -4x-y=11 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}\right)-y=11$$

-4 लाई \frac{-y+11}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{4}{3}y-\frac{44}{3}-y=11$$

-y मा \frac{4y}{3} जोड्नुहोस्

$$\frac{1}{3}y-\frac{44}{3}=11$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{44}{3} जोड्नुहोस्।

$$\frac{1}{3}y=\frac{77}{3}$$

दुबैतिर 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$y=77$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3} मा y लाई 77 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{3}\times 77+\frac{11}{3}$$

-\frac{1}{3} लाई 77 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-77+11}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{11}{3} लाई -\frac{77}{3} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-22$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-22,y=77$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11-11\\4\times 11+3\times 11\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\77\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-22,y=77$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

3x र -4x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-4\times 3x-4y=-4\times 11,3\left(-4\right)x+3\left(-1\right)y=3\times 11$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-12x-4y=-44,-12x-3y=33$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -12x-4y=-44 बाट -12x-3y=33 घटाउनुहोस्।

$$-12x+12x-4y+3y=-44-33$$

12x मा -12x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -12x र 12x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-4y+3y=-44-33$$

3y मा -4y जोड्नुहोस्

$$-y=-44-33$$

-33 मा -44 जोड्नुहोस्

$$-y=-77$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=77$$

-4x-y=11 मा y लाई 77 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-4x-77=11$$

समीकरणको दुबैतिर 77 जोड्नुहोस्।

$$-4x=88$$

दुबैतिर -4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-22$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-22,y=77$$