समाधान {l}{3x+6y=24}{9x+5y=68}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 6 y = 24 } \\ { 9 x + 5 y = 68 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{96}{13} = 7\frac{5}{13} \approx 7.384615385$$

$$y=\frac{4}{13}\approx 0.307692308$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3x+6y=24$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 6y घटाउनुहोस्।

$$3x=-6y+24$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}\left(-6y+24\right)$$

\frac{1}{3} लाई -6y+24 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-2y+8$$

-2y+8 लाई x ले अर्को समीकरण 9x+5y=68 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$9\left(-2y+8\right)+5y=68$$

9 लाई -2y+8 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-18y+72+5y=68$$

5y मा -18y जोड्नुहोस्

$$-13y+72=68$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 72 घटाउनुहोस्।

$$-13y=-4$$

दुबैतिर -13 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{4}{13}$$

x=-2y+8 मा y लाई \frac{4}{13} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-2\times \frac{4}{13}+8$$

-2 लाई \frac{4}{13} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{8}{13}+8$$

-\frac{8}{13} मा 8 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{96}{13}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-6\times 9}&-\frac{6}{3\times 5-6\times 9}\\-\frac{9}{3\times 5-6\times 9}&\frac{3}{3\times 5-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}&\frac{2}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}\times 24+\frac{2}{13}\times 68\\\frac{3}{13}\times 24-\frac{1}{13}\times 68\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{96}{13}\\\frac{4}{13}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

3x र 9x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 9 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$9\times 3x+9\times 6y=9\times 24,3\times 9x+3\times 5y=3\times 68$$

सरल गर्नुहोस्।

$$27x+54y=216,27x+15y=204$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 27x+54y=216 बाट 27x+15y=204 घटाउनुहोस्।

$$27x-27x+54y-15y=216-204$$

-27x मा 27x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 27x र -27x राशी रद्द हुन्छन्।

$$54y-15y=216-204$$

-15y मा 54y जोड्नुहोस्

$$39y=216-204$$

-204 मा 216 जोड्नुहोस्

$$39y=12$$

दुबैतिर 39 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{4}{13}$$

9x+5y=68 मा y लाई \frac{4}{13} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$9x+5\times \frac{4}{13}=68$$

5 लाई \frac{4}{13} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$9x+\frac{20}{13}=68$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{20}{13} घटाउनुहोस्।

$$9x=\frac{864}{13}$$

दुबैतिर 9 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{96}{13}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$