समाधान {l}{3x+5y=4}{-3x+4y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 4 } \\ { - 3 x + 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{13}{9} = -1\frac{4}{9} \approx -1.444444444$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3x+5y=4$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5y घटाउनुहोस्।

$$3x=-5y+4$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+4\right)$$

\frac{1}{3} लाई -5y+4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

\frac{-5y+4}{3} लाई x ले अर्को समीकरण -3x+4y=11 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-3\left(-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)+4y=11$$

-3 लाई \frac{-5y+4}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$5y-4+4y=11$$

4y मा 5y जोड्नुहोस्

$$9y-4=11$$

समीकरणको दुबैतिर 4 जोड्नुहोस्।

$$9y=15$$

दुबैतिर 9 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{5}{3}$$

x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3} मा y लाई \frac{5}{3} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{5}{3}+\frac{4}{3}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{5}{3} लाई \frac{5}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{25}{9}+\frac{4}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{4}{3} लाई -\frac{25}{9} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{13}{9}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-5\left(-3\right)}&-\frac{5}{3\times 4-5\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-5\left(-3\right)}&\frac{3}{3\times 4-5\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{27}&-\frac{5}{27}\\\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{27}\times 4-\frac{5}{27}\times 11\\\frac{1}{9}\times 4+\frac{1}{9}\times 11\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{9}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

3x र -3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-3\times 3x-3\times 5y=-3\times 4,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\times 11$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-9x-15y=-12,-9x+12y=33$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -9x-15y=-12 बाट -9x+12y=33 घटाउनुहोस्।

$$-9x+9x-15y-12y=-12-33$$

9x मा -9x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -9x र 9x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-15y-12y=-12-33$$

-12y मा -15y जोड्नुहोस्

$$-27y=-12-33$$

-33 मा -12 जोड्नुहोस्

$$-27y=-45$$

दुबैतिर -27 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{5}{3}$$

-3x+4y=11 मा y लाई \frac{5}{3} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-3x+4\times \frac{5}{3}=11$$

4 लाई \frac{5}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-3x+\frac{20}{3}=11$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{20}{3} घटाउनुहोस्।

$$-3x=\frac{13}{3}$$

दुबैतिर -3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{13}{9}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$