समाधान {l}{3x+5y=1}{2x-3y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 1 } \\ { 2 x - 3 y = 0 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{3}{19}\approx 0.157894737$$

$$y=\frac{2}{19}\approx 0.105263158$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3x+5y=1,2x-3y=0$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3x+5y=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5y घटाउनुहोस्।

$$3x=-5y+1$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+1\right)$$

\frac{1}{3} लाई -5y+1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}$$

\frac{-5y+1}{3} लाई x ले अर्को समीकरण 2x-3y=0 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}\right)-3y=0$$

2 लाई \frac{-5y+1}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{10}{3}y+\frac{2}{3}-3y=0$$

-3y मा -\frac{10y}{3} जोड्नुहोस्

$$-\frac{19}{3}y+\frac{2}{3}=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{2}{3} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{19}{3}y=-\frac{2}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{19}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{2}{19}$$

x=-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3} मा y लाई \frac{2}{19} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{2}{19}+\frac{1}{3}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{5}{3} लाई \frac{2}{19} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{10}{57}+\frac{1}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{1}{3} लाई -\frac{10}{57} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{19}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{3}{19},y=\frac{2}{19}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+5y=1,2x-3y=0$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-5\times 2}&-\frac{5}{3\left(-3\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-5\times 2}&\frac{3}{3\left(-3\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{2}{19}&-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\\\frac{2}{19}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{19},y=\frac{2}{19}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3x+5y=1,2x-3y=0$$

3x र 2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2\times 3x+2\times 5y=2,3\times 2x+3\left(-3\right)y=0$$

सरल गर्नुहोस्।

$$6x+10y=2,6x-9y=0$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 6x+10y=2 बाट 6x-9y=0 घटाउनुहोस्।

$$6x-6x+10y+9y=2$$

-6x मा 6x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 6x र -6x राशी रद्द हुन्छन्।

$$10y+9y=2$$

9y मा 10y जोड्नुहोस्

$$19y=2$$

दुबैतिर 19 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{2}{19}$$

2x-3y=0 मा y लाई \frac{2}{19} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2x-3\times \frac{2}{19}=0$$

-3 लाई \frac{2}{19} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$2x-\frac{6}{19}=0$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{6}{19} जोड्नुहोस्।

$$2x=\frac{6}{19}$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{19}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{3}{19},y=\frac{2}{19}$$